¿Las funciones holomorfas sobre (0, 1) (que desaparecen en el punto final) son densas en $C_0((0, 1))$ ?

Question

Aquí está mi argumento, por favor, hágame saber si funciona o no.

Según el teorema de Stone-Weierstrass (versión compleja), las funciones en $C_0((0, 1))$ puede aproximarse uniformemente mediante polinomios en z y $\bar{z}$ que desaparece en 0 y 1. Pero en (0, 1), $z=\bar{z}$ por lo que basta con considerar sólo los polinomios en $z$ .

Pregunta más grande: Estoy tratando de definir $f(a)$ para $a \in A$ , $a$ es un elemento del álgebra de Banach con espectro $\sigma(a)\subset [0,1]$ y $f \in C_0(0,1)$ . Sé que $f(a)$ puede definirse mediante el cálculo funcional holomórfico 1 para $f$ holomofrica en una vecindad de [0,1], y si $f_n \to f$ en subconjuntos compactos de una vecindad abierta de $\sigma(a)$ entonces $f_n(a)$ converge. Si lo anterior fuera cierto, parece que puedo definir $f(a)$ en general $f \in C_0((0,1))$ utilizando la aproximación con $f_n(a)$ con $f_n$ polinomios que desaparecen en 0 y 1.

Answer 1

Hay buenas y malas noticias. La buena noticia es que puedes aproximar cada función en $C_0((0,1))$ uniformemente por polinomios que desaparecen en $0$ y $1$ en $[0,1]$ según el teorema de aproximación de Weierstraß. La mala noticia es que si dicha secuencia de aproximación de polinomios converge localmente de manera uniforme en una vecindad del espectro, entonces su función límite es holomorfa en esa vecindad. Así que, lamentablemente, no se gana nada. Si la función que quieres aproximar es la restricción de una función holomorfa al espectro, puedes utilizar directamente el cálculo de la función holomorfa, y si no lo es, la aproximación no puede ser uniforme en una vecindad del espectro, y en general no es posible deducir la convergencia de $f_n(a)$ .