Bola que se cruza con un conjunto abierto

Question

¿Es correcta la siguiente afirmación?

Dejemos que $B$ sea una bola abierta en $\mathbb R^d$ que interseca un conjunto abierto $U$ . Supongamos que $B$ contiene un punto exterior de $U$ . Entonces $B$ tiene que intersecar $\partial U$ .

Mis otras preguntas son:

1. ¿Es la conectividad (o la conexión del camino) de $B$ ¿sólo se utiliza en la prueba?
2. Si 1 es cierto, entonces es cierto en un espacio topológico general asumiendo $B$ está conectada (o conectada a la ruta)?

Answer 1

Exactamente.

Supongamos que $U$ y $B$ son subconjuntos cualesquiera de un espacio topológico, y se supone que $B$ es disjunta de $\partial U$ pero se cruza con ambos $\mathrm{int}(U)$ y $\mathrm{ext}(U)=\mathrm{int}(U^\complement)\,$ . Entonces $$B=(B\cap\mathrm{int}(U))\,\cup\,(B\cap\mathrm{ext}(U))$$ es la unión disjunta de dos subconjuntos abiertos no vacíos de $B\ $ (en la topología del subespacio).