$U$ estar abierto en $X$ y $A:=X \setminus U$ es la función $f: U \to \mathbb R ; f(x):=dist (x,A) , \forall x \in U$ ¿Inyectiva?

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico , $U$ estar abierto en $X$ y $A:=X \setminus U$ es la función $f: U \to \mathbb R$ definido por $f(x):=dist (x,A) , \forall x \in U$ ¿Inyectiva? Si no es así, ¿tenemos que suponer la completitud de $(X,d)$ o cualquier otra propiedad para forzar la inyectividad?

Answer 1

Es probable que no inyectiva: tomar $X = \mathbb R^2$ y $U$ la bola de la unidad. Entonces $x_1 = (1/2, 0)$ y $x_2 = (-1/2, 0)$ están a la misma distancia de $A$ .