Cómo mostrar $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3} = 1$

Question

Empiezo con $x=\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$, entonces

$\begin{align*} x +\sqrt{3} &= \sqrt{4+2\sqrt{3}}\\ (x +\sqrt{3})^2 &= (\sqrt{4+2\sqrt{3}})^2\\ x^2 + (2\sqrt{3})x + 3 &= 4+ 2\sqrt{3}\\ x^2 + (2\sqrt{3})x - 1 - 2\sqrt{3} &= 0 \end{align*} $

Así que he mostrado que hay un polinomio cuya solución es $x=\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$, pero no he demostrado que ser 1.

Answer 1

Nota:

Answer 2

Aquí es un enfoque que no requiere que una factorización terriblemente obvio del punto. Multiplicando por el conjugado para deshacerse de algunas de las raíces cuadradas es una cosa bastante natural, y

$$\left(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt3\right)\left(\sqrt{4+2\sqrt3}+\sqrt3\right)=1+2\sqrt3\;.$$

Así, el resultado deseado tiene si y sólo si

$$1+2\sqrt3=\sqrt{4+2\sqrt3}+\sqrt3\;,$$

o

$$1+\sqrt3=\sqrt{4+2\sqrt3}\;,$$

que se verifica fácilmente.

Answer 3

Es útil, al acercarse a un problema como este, para eliminar las raíces cuadradas más complejas. Así que dado: reorganizar los $$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{3} = 1$ $ a (con el fin de aislar la raíz cuadrada más compleja en el lado izquierdo): $$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$ $ cuadrado ambos lados: $$4 + 2 \sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)$ $ Multiplique hacia fuera el lado derecho: $$4 + 2 \sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1$ $ así $$4 + 2 \sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$ $

Esto no depende de usted ver la factorización, sólo metódicamente trabaja en simplificar la expresión que le entregaron.

Answer 4

Tenemos $4+2 \sqrt 3= 3+ 2 \sqrt 3+1= \left( \sqrt 3+1\right)^2$. Por lo tanto $\sqrt{4+2 \sqrt 3}= \sqrt 3+1$. Así, $\sqrt{4+2 \sqrt 3}- \sqrt 3=1$.