Probabilidad condicional en eventos independientes y mutuamente excluyentes.

Question

Este hilo muestra que si dos sucesos deben ser mutuamente excluyentes e independientes, uno de ellos debe tener probabilidad cero. Trabajé el siguiente ejemplo que parece contradecir la probabilidad condicional.

Elegimos un número real en el rango [0,1]

A = caso de que el número sea racional

B = caso de que el número sea irracional

P(A y B) = $0$ (porque son disjuntos por definición)

Además, P(A) = $0$ (de la teoría de la medida/matemáticas discretas)

Por tanto, P(A y B) = P(A) * P(B)

Esto significa que A y B son independientes.

Nótese que la probabilidad de que el número sea irracional dado que es racional es cero. Esto no satisface la probabilidad condicional.

P(B | A) = 0 $\ne$ 1 = P(B)

P(B | A) $\ne$ P(B)

Esto sólo significa que la ocurrencia de un evento (A) está afectando a la probabilidad de otro (B), y no es independiente. ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

No pasa nada.   Las contradicciones se permiten cuando no se cumple la condición previa.

Si $\mathsf P(A)>0$ entonces $\mathsf P(B\mid A)\cdot\mathsf P(A) = \mathsf P(B)$ .

Aunque la medida $\mathsf P(B\mid A)$ puede evaluarse a partir del modelo, el consecuente no tiene por qué cumplirse si el antecedente no lo hace; es decir: $\mathsf P(A=0)$ .