Descomposición de un grupo abeliano sujeto a ciertas relaciones

Question

He tratado de resolver el siguiente problema:

Supongamos que $G$ es un grupo abeliano, generado por $x_1, x_2, x_3, x_4$ y con sujeción a las relaciones: $$4x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 0; 8x_1 - 12x_3 + 20x_4 = 0; 6x_1 + 4x_2 - 16x_4 = 0.$$ Escriba $G$ como producto directo de grupos cíclicos.

$\textbf{My idea:}$ Podemos tomar el $\mathbb{Z}$ -módulo sobre $\{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ y después podemos hacer el cociente por las relaciones mencionadas. Entonces podemos aplicar el Teorema Fundamental de los Módulos Finitamente Generados sobre EPIs. El caso es que después de hacer cociente por las relaciones me cuesta "coger" los elementos de este nuevo grupo abeliano. ¿Alguna pista?

Answer 1

Para calcular la forma normal de Smith utilizamos lo siguiente:

1. intercambiar dos filas o dos columnas,
2. multiplicar una fila o columna por $\pm 1$ ,
3. añadir un múltiplo entero de fila a otra fila (o un múltiplo entero de una columna a otra columna). Por lo tanto, $$ \begin{bmatrix} 4&-2&-2&0\\ 8&0&-12&20\\ 6&4&0&16 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2&4&-2&0\\ 0&8&-12&20\\ 4&6&0&16 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} -2&0&0&0\\ 0&8&-12&20\\ 4&14&-4&16 \end{bmatrix}\rightarrow $$ $$\begin{bmatrix} -2&0&0&0\\ 0&8&-12&20\\ 0&14&-4&16 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2&0&0&0\\ 0&8&-12&20\\ 0&6&8&-4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2&0&0&0\\ 0&2&-20&24\\ 0&6&8&-4 \end{bmatrix}\rightarrow $$ $$ \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\ 0&2&-20&24\\ 0&0&68&-76 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&68&-76 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&-8&76 \end{bmatrix}\rightarrow $$ $$ \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&8&-4 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&4&0 \end{bmatrix} $$

Así que el grupo dado es isomorfo a $\Bbb{Z}_2 \times \Bbb{Z}_2 \times \Bbb{Z}_4$ .