Si $E\subset X^{*}$ está acotado, entonces también lo está su cierre débil*

Question

Si $X$ es un espacio de Banach y $E\subset X^{*}$ está acotado por la norma, he demostrado que su cierre débil* también está acotado por la norma utilizando el teorema de Alaoglu. ¿Pero quizás no sea necesario utilizar el teorema de Alaoglu?

(He demostrado que si $F\subset X$ está acotado por la norma, entonces su cierre débil también está acotado por la norma...)

Answer 1

Añadiré detalles para completar, evitando el lenguaje de las redes. Basta con demostrar que una bola cerrada $B_R=\{\phi\in X^*: \|\phi\|\le R\}$ es débil*-cerrado; de hecho, cualquier conjunto acotado está contenido en tal bola.

Tome cualquier $\phi \in X^*\setminus B_R$ . Por definición de la norma, existe un vector unitario $u\in X$ tal que $|\phi(u)|>R$ . Sea $\epsilon = |\phi(u)|-R$ . El conjunto $$U = \{\psi\in X^* : |\psi(u)-\phi(u)|<\epsilon\}$$ es débil* abierto, contiene $\phi$ y es disjunta de $B_R$ . Así, $B_R$ es débil* cerrado.

Answer 2

Ya veo, el teorema de Alaoglu no es necesario: uno puede simplemente considerar una red débilmente* convergente en $E$ y demostrar que su límite también está acotado.

Answer 3

Si te sientes cómodo con el lenguaje de las redes, esto no es demasiado difícil de demostrar.

Desde $E$ está acotado, supongamos que todo $f\in E$ satisface $||f|| \le C$ para alguna constante $C$ . Sea $f'$ estar en los débiles $^*$ cierre de $E$ . Entonces existe una red $\langle f_{\alpha}\rangle$ tal que $f_{\alpha}\to f'$ en un débil $^*$ manera, es decir $f_{\alpha}(x)\to f'(x)$ para todos $x\in X$ .

Para cualquier $x$ satisfaciendo $||x|| = 1$ tenemos $||f_{\alpha}(x)||\le ||f_{\alpha}|| \le C$ . Desde $f_{\alpha}(x)\to f'(x)$ tenemos $||f'(x)||\le C$ . Por definición de la norma de un funcional, $||f'||\le C$ . Esto demuestra que el débil $^*$ cierre de $E$ también está acotado (¡por la misma constante!).

Observación: OP declaró que él / ella logró demostrar que si $F\subseteq X$ está ligado a la norma, entonces también lo está el cierre débil. Me parece que la prueba es similar y de hecho más difícil en este último caso (teniendo que utilizar la isometría de $X$ en $X^{**}$ ).