Dos números diferentes se dividen por 7

Question

¿Alguien puede decirme si este problema está mal? ¿Debería ser "el menor producto de tres dígitos posible" o "el mayor producto de tres dígitos posible"? Si es el mayor producto posible de tres dígitos, ¿pueden mostrarme cómo resolver el problema? Gracias.

Cuando se dividen dos números diferentes entre 7, quedan restos de 2 y 3, respectivamente. ¿Cuál es el mayor producto posible de tres cifras de estos dos números?

Answer 1

Evidentemente, dicho número sería de la forma $7k+6$ el mayor número de este tipo bajo $1000$ es $993$ .

Si tomamos $b=3$ entonces podemos hacer $a=331=7\times 47+2$ . Así que el máximo es $993$ que se obtiene cuando $a=331$ y $b=3$ .

Answer 2

El problema funciona de cualquier manera, independientemente de que se pida el producto de 3 dígitos más pequeño o más grande.

En cualquier caso, podemos decir que el producto es $6\bmod7$ ya que los dos números originales son $2\bmod7$ y $3\bmod7$ respectivamente, siendo el producto de los residuos $2×3=6$ .

Para encontrar el mayor producto posible de 3 dígitos, mira los números del 999 hacia abajo que son $6\bmod7$ y ver si se dividen en dos factores con residuos $2,3\bmod7$ . Pero el primer número que probamos encaja perfectamente: $$993=141×7+6=3×331=(0×7+3)(47×7+2)$$ Por lo tanto, 993 es la respuesta a la pregunta tal y como se planteó originalmente.

Si buscamos el producto más pequeño de 3 dígitos, hacemos lo mismo, sólo que buscando de 100 en adelante: $$104=14×7+6=52×2=(7×7+3)(0×7+2)$$ De ahí que la 104 sea la respuesta a esta pregunta modificada.