Ayuda con los deberes: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Question

Estoy un poco atascado con las dos últimas ecuaciones. Sólo necesito una patada / pista en la dirección correcta para conseguirlo.

Mi pregunta es: cómo simplificarlos a alguna forma base de la que pueda obtener el valor de x. Quiero saber el método.

$8^{x+3}=6\cdot 2^x+4\cdot 4^{x+2}$

$2\cdot\ln\left(x\right)-\ln\left(x-5\right)=\ln\left(x+1\right)$

Answer 1

Para la ecuación $$8^{x + 3} = 6 \cdot 2^x + 4 \cdot 4^{x + 2}$$ utilice $2$ como base común. \begin{align*} 8^{x + 3} & = 6 \cdot 2^x + 4 \cdot 4^{x + 2}\\ (2^3)^{x + 3} & = 6 \cdot 2^x + 4 \cdot (2^2)^{x + 2}\\ 2^{3x + 9} & = 6 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^{2x + 4}\\ 2^9 \cdot 2^{3x} & = 6 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^4 \cdot 2^{2x}\\ 512 \cdot 2^{3x} & = 6 \cdot 2^x + 64 \cdot 2^{2x}\\ 256 \cdot 2^{3x} & = 3 \cdot 2^x + 32 \cdot 2^{2x} \end{align*} Dejemos que $u = 2^x$ para obtener $$256u^3 = 3u + 32u^2$$ y observe que $u = 2^x > 0$ para cada número real $x$ Así que $u = 0$ no es una solución de la cúbica.

Para la ecuación $$2\ln x - \ln (x - 5) = \ln (x + 1)$$ obtenemos \begin{align*} \ln x^2 - \ln (x - 5) & = \ln (x + 1)\\ \ln\left(\frac{x^2}{x - 5}\right) & = \ln (x + 1)\\ e^{\ln\left(\frac{x^2}{x - 5}\right)} & = e^{\ln (x + 1)}\\ \frac{x^2}{x - 5} & = x + 1 \end{align*} Tenga en cuenta que $\ln x$ sólo se define cuando $x > 0$ , $\ln (x - 5)$ sólo se define cuando $x - 5 > 0$ y $\ln (x + 1)$ sólo se define cuando $x + 1 > 0$ . Su respuesta final debe satisfacer estas tres restricciones.