Construcción de Ash de la medida de Lebesgue-Stieltjes a partir de una función de distribución

Question

Estoy leyendo este libro Probabilidad y Teoría de la Medida por Ash. Creo que me he encontrado con una parte que es un poco a mano. Estamos tratando de construir una medida de Lebesgue-Stieltjes a partir de una función de distribución $F$ ( en que la medida del intervalo $(a,b]$ es $F(b) - F(a)$ ).

Comienza añadiendo $+\infty$ et $-\infty$ a la línea real para poder trabajar en un espacio compacto. Define semicerrados rectos como intervalos de la forma $(a, b]$ et $[-\infty, b]$ et $(-\infty, b]$ . A continuación, construye un campo tomando todas las uniones finitas de estos intervalos simétricos a la derecha.

Define una función de conjunto sobre este campo definida de forma intuitiva (la función de conjunto toma $(a,b]$ a $F(b) - F(a)$ ) y demuestra que esta función de conjunto es contablemente aditiva.

Aquí es donde no entiendo su argumento. Parece decir, ignora estos puntos $+\infty$ et $-\infty$ de modo que nuestro campo ya no utiliza el espacio compacto, y nuestra función de conjunto se convierte ahora en una medida propia sobre un campo real. A continuación, aplicar el Teorema de Extensión de Carathéodory.

No veo cómo podemos pasar de un espacio compacto a un espacio no compacto sin causar daño a las propiedades de nuestra función de conjunto. Espero que este método de construcción sea ampliamente utilizado y alguien pueda explicarme dónde estoy confundido. Este es el Teorema 1.4.4 en Ash, 2ª Edición.

La exposición completa puede consultarse en http://books.google.com/books?id=TKLl3CGqsTEC&lpg=PP1&dq=probability%20and%20measure%20theory&pg=PA22#v=onepage&q&f=false desde la parte inferior de la página 22 hasta la página 24.

Answer 1

Existe una equivalencia entre las medidas de Stieltjes sobre la recta real y las medidas de Stieltjes sobre la recta real compactada que asignan medida 0 a los puntos límite añadidos en el infinito.

Para cualquier medida de un tipo existe una única medida del otro tipo que asigna los mismos valores a intervalos finitos en $R$ . Esto no es más que la notación de "integrales impropias" del cálculo. Al igual que en el cálculo, se trata de una conveniencia notacional para evitar tener que escribir constantemente sobre límites de integrales. La demostración puede escribirse o leerse en términos que eviten cualquier extensión del espacio o de la medida, del mismo modo que cualquier cálculo con integrales impropias puede presentarse como un límite de cálculos sobre intervalos finitos.

Answer 2

La respuesta de zyx me ha ayudado a entender la prueba.

Sea $F: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ sea una función de distribución. Podemos formar la función $F_C:\overline{\mathbb{R}}\rightarrow\overline{\mathbb{R}} $ estableciendo $$F_C(x) \equiv F(x), x\in\mathbb{R}$$ $$F_C(\pm\infty) \equiv \lim_{x\rightarrow \pm\infty} F(x)$$

Entonces podemos definir la función de conjunto $$\mu_C(a,b] \equiv F_C(b)-F_C(a), a\in\overline{\mathbb{R}}, b\in \overline{\mathbb{R}}$$ $$\mu_C[-\infty, b] \equiv \mu_C(-\infty, b], b \in \overline{\mathbb{R}}$$

Podemos demostrar $\mu_C$ es contablemente aditivo en el campo de uniones finitas de intervalos cerrados derechos disjuntos en $\overline{\mathbb{R}}$ .

Ahora definimos una función de conjunto $\mu$ en el campo de uniones finitas de intervalos cerrados derechos disjuntos en $\mathbb{R}$ :
$$\mu(a,b] \equiv \mu_C(a,b], a\in\mathbb{R}, b\in \mathbb{R}$$ $$\mu(-\infty, b] \equiv \mu_C(-\infty, b], b \in \mathbb{R}$$ $$\mu(a, \infty) \equiv \mu_C(a, \infty], a \in \mathbb{R}$$ $$\mu(-\infty, \infty) \equiv \mu_C[\infty, \infty], a \in \mathbb{R}$$

Supongamos ahora que tenemos una secuencia de conjuntos disjuntos $A_n$ en el campo el $\mathbb{R}$ y $\cup A_n = A$ et $A$ está en el campo en $\mathbb{R}$ . $$\mu(A) = \mu(\cup A_n)$$ $$\mu(\cup A_n) = \mu(A_0 \cup A_1 \cup (\cup_{n =2} ^{\infty} A_n))$$ donde $A_0$ et $A_1$ pasan a ser los conjuntos no limitados $(a, \infty)$ et $(-\infty, b)$ si existen. En caso contrario, podemos tomarlos como el conjunto vacío. $$\mu(A_0 \cup A_1 \cup (\cup_{n =2} ^{\infty} A_n)) = \mu(A_0) + \mu(A_1) + \mu (\cup_{n =2} ^{\infty} A_n)$$ por aditividad finita. $$\mu(A_0) + \mu(A_1) + \mu (\cup_{n =2} ^{\infty} A_n) = \mu(A_0) + \mu(A_1) + \mu_C (\cup_{n =2} ^{\infty} A_n)$$ porque el $\cup_{n =2} ^{\infty} A_n$ resulta en un número finito de intervalos disjuntos, todos ellos finitos. $$\mu(A_0) + \mu(A_1) + \mu_C (\cup_{n =2} ^{\infty} A_n) = \mu(A_0) + \mu(A_1) + \sum _{n =2} ^{\infty} \mu_C (A_n)$$ por aditividad contable de $\mu_C$
$$\mu(A_0) + \mu(A_1) + \sum _{n =2} ^{\infty} \mu_C (A_n) = \mu(A_0) + \mu(A_1) + \sum _{n =2} ^{\infty} \mu (A_n)$$ $$= \sum \mu(A_n)$$

Así que la prueba está hecha porque $\mu(\cup A_n) = \sum \mu(A_n)$

Answer 3

Estoy de acuerdo en que parece un poco forzado y, por lo que veo, totalmente innecesario. Según mi experiencia, podemos construir rigurosamente la medida de Lebesgue en la recta real de la siguiente manera.

Sea $\mathcal{D}$ es el conjunto de todas las uniones finitas de intervalos de la forma $(a,b]$ para $a\leq b \in \mathbb{R}$ . Nos permite $a=b$ para que $\mathcal{D}\supset\emptyset$ . Es fácil comprobar que $\mathcal{D}$ es un anillo en el sentido de la teoría de la medida. También es bastante obvio que $\mathcal{D}$ genera el Borel $\sigma$ -en $\mathbb{R}$ .

Definimos una función de conjunto sobre $\mathcal{D}$ por $$\mu(\bigcup_{n=1}^k(a_n,b_n])=\sum_{n=1}^k (b_n-a_n)$$

Esto está bien definido, como puedes comprobar. Resulta que la parte difícil de demostrar es la aditividad contable, donde parece que tu libro tomó un atajo un poco confuso. Lo demostraré aquí ahora lentamente.

Existe un conocido lema que afirma que una función de conjunto aditiva es contablemente aditiva si siempre que $A_n$ una secuencia decreciente de conjuntos medibles con $\bigcap A_n=\emptyset$ tenemos $\mu(A_n)\rightarrow 0$ . No es muy difícil de demostrar y está en todos los textos importantes.

Ahora utilizamos este lema y argumentamos por contradicción. Supongamos que tenemos $A_n$ et $\exists \epsilon >0$ s.t. $\mu(A_n)>2\epsilon$ $\forall n\in\mathbb{N}$ . Ahora elija $C_n\in\mathcal{D}$ con $\bar{C_n}\subset A_n$ et $\mu(B_n\setminus C_n)<\epsilon 2^{-n}$ . Puede comprobar que

$$\mu(B_n\setminus(C_1\cap\dots\cap C_n))<\epsilon$$

y, por tanto, que $\mu(C_1\cap\dots\cap C_n)>\epsilon$ para todos $n$ .

Así, en particular $K_n=\bar{C_1}\cap\dots\cap \bar{C_n}\neq\emptyset$ . Pero el $K_n$ son una secuencia decreciente de subconjuntos cerrados de un espacio completo con diámetro tendente a cero, por lo que por topología estándar $\bigcap K_n\neq \emptyset$ . Pero entonces ciertamente $\bigcap A_n\neq \emptyset$ una contradicción.

Ahora que tenemos contablemente aditividad ordenada, podemos extender a la Borel $\sigma$ -álgebra de Caratheodory.

Resumen Este método para demostrar la aditividad contable me parece un poco menos esotérico. Todos los demás detalles son esencialmente muy similares a los de tu libro.