Selon Teorema de la uniformización toda superficie compacta de Riemann $\Sigma$ del género $g\ge2$ es isomorfo a un espacio que puede obtenerse por la acción de un grupo fucsiano sobre el semiplano superior $\mathbb{H}$
$$\Sigma\simeq\frac{\mathbb{H}}{\Gamma}$$
En el espacio de Teichmüller o de moduli de tales superficies de Riemann, se puede considerar Coordenadas Fenchel-Nielsen $\{\ell_a,\tau_a\}_{a=1}^{3g-3}$ .
Por otro lado, la función zeta de Selberg para una superficie compacta de Riemann puede escribirse como
$$Z(s)\equiv\prod_{\{\gamma_p\}}\prod_{n}\left(1-e^{-(n+s)\ell_{\gamma_p}}\right)$$
En el que $\{\gamma_p\}$ es el conjunto de elementos primitivos del grupo fucsiano $\Gamma$ y $\ell_{\gamma_p}$ es la longitud del correspondiente geodésica cerrada simple con respecto a la métrica hiperbólica en $\Sigma$ inducida a partir de la métrica de Poincare en $\mathbb{H}$ . Hay varias preguntas:
- ¿Cuál es el número de elementos primitivos de $\Gamma$ ? (Se supone que hay infinitas geodésicas cerradas simples en $\Sigma$ por lo que debería ser infinito).
- ¿Cuál es el número de generadores de $\Gamma$ ?
- ¿Existe alguna relación entre el número de generadores de $\Gamma$ y el género de la superficie?
- Hay algunas cantidades en la superficie de Riemann que pueden expresarse en términos de la función zeta de Selberg. Por ejemplo Determinante del laplaciano que actúa sobre varios campos tensoriales en la superficie de Riemman puede escribirse en términos de la función zeta de Selberg. Estas cantidades dependen, por tanto, de los parámetros de Teichmüller/módulos. Así que la pregunta natural es que cuál es la relación entre las longitudes $\{\ell_{a}\}$ las coordenadas de Fenchel-Nielsen y $\{\ell_{\gamma_p}\}$ en la función zeta de Selberg?
En cuanto a la última pregunta, parece que podemos considerar $3g-3$ elementos primitivos $\{\hat{\gamma}_{p_i}\}_{i=1}^{3g-3}$ de $\Gamma$ e identificar sus longitudes con las coordenadas de longitud de Fenchel-Nielsen $\{\ell_a\}_{a=1}^{3g-3}$ :
$$\ell_{\hat{\gamma}_{p_i}}\equiv\ell_i \qquad i=1,\cdots,3g-3$$
Si ese es el caso:
-
¿Cuál es el papel de las otras longitudes? ¿Están relacionadas con el conjunto $\{\hat{\gamma}_p\}$ por la acción del grupo de clase Mapping?
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Siguiendo a Quillen, el determinante del operador de Dirac se define a través del laplaciano correspondiente, que a su vez puede expresarse en términos de la función zeta de Selberg. En cuanto al hecho de que las coordenadas FN no pueden dar una estructura compleja al espacio de Teichmuller, ¿existe alguna noción de "factorización holomórfica" que permita definir el determinante del operador de Dirac directamente en términos de la función zeta de Selberg?
Si no es el caso,
- ¿Cómo es posible obtener la dependencia del determinante del operador de Dirac en las coordenadas de Fenchel-Nielsen?
