Problema de combinaciones de cookies

Question

Hay 8 tipos (el mismo tipo se puede usar varias veces) de galletas disponibles en una tienda. Contar el número de maneras:

• (a) de elegir 6 de ellas y colocarlas en una fila.
• (b) de elegir 6 de ellas y colocarlas en líneas llamadas A y B, con 3 en cada una.
• (c) de elegir 6 de ellas y colocarlas en dos líneas del mismo tamaño sin etiquetar.

En la subtaea (a) obtuve la respuesta $8^6$, y sobre (b) y (c) no estoy seguro. Supongo que en (b) debería hacer $8^3 * 8^3$. Sobre (c) no tengo idea de qué hacer.

Answer 1

La respuesta para (b) sigue siendo $8^6$: una línea de seis galletas puede dividirse de forma única en dos líneas de tres, donde la línea izquierda se llama A y la derecha B, y esas líneas pueden combinarse nuevamente para obtener la línea original de seis (es decir, las disposiciones en (a) y en (b) están en biyección).

Hay $8^3$ líneas de tres galletas. Todas las disposiciones para (c) pueden generarse de forma única eligiendo dos líneas de ese tipo con repeticiones permitidas pero donde el orden no importa. Según 'estrellas y barras', la respuesta es $$\binom{8^3+1}2$$

Answer 2

Tus respuestas a las partes (a) y (b) son correctas. Ten en cuenta que tu respuesta en la parte (b) es igual a $8^6$, lo cual tiene sentido ya que tenemos ocho opciones para cada una de las seis posiciones.

En la parte (c), las líneas son idénticas o diferentes. Hay $8^3$ maneras de formar una línea ya que hay ocho opciones para cada una de las tres posiciones. Dos líneas idénticas se pueden formar de $\binom{8^3}{1}$ maneras y dos líneas diferentes se pueden formar de $\binom{8^3}{2}$ maneras. Por lo tanto, el número de maneras de colocar seis galletas extraídas de ocho tipos de galletas en dos líneas sin etiquetar es $$\binom{8^3}{1} + \binom{8^3}{2}$$ Observa que esta respuesta es equivalente a la que Parcly Taxel obtuvo utilizando combinaciones con repetición según la identidad de Pascal.