Una función armónica radial en $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ es de la forma $\frac{b}{|x|^{N-2}} + c$

Question

Demostrar: Una función armónica radial $f$ sur $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ es de la forma $\frac{b}{|x|^{N-2}} + c$ para $b,c \in \mathbb{R}$ .

Mi intento: Etiqueta $g_i = (0,..,0,x_i,0,..,0)$ . A partir del principio de máximo de las funciones armónicas y del hecho de que $f$ es radial, sabemos que para todo $i$ , $f(g_i)$ aumenta o disminuye monótonamente.( $f$ también puede ser constante, pero ese es un caso sencillo). Supongamos WLOG que es monotónicamente creciente. Por lo tanto: $(f(g_i))' > 0 \rightarrow f'(g_i)(0,...,0,1,0,...,0) > 0$ de la regla de la cadena. En otras palabras, cada entrada en el gradiente de $f$ es positivo para todos los $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ . Además, sé que la simetría de la forma, el hecho de que el Laplaciano sea igual a $0$ significa que todos los segundos derivados son $0$ .

No estoy seguro de cómo conectar estas cosas y continuar desde aquí.

Answer 1

El gradiente de una función armónica es un campo vectorial de divergencia nula. Por lo tanto (por el teorema de la divergencia), el flujo del gradiente a través de la esfera $S_r = \{x:|x|=r\}$ es el mismo para cada $r$ . Para una función radial $f(x) = h(|x|)$ el gradiente es $$\nabla f(x) = h'(|x|)\frac{x}{|x|}$$ y por lo tanto el flujo a través de $S_r$ es $$ \omega_{N-1} r^{N-1}h'(r) $$ donde $\omega_{N-1}$ es la superficie de la esfera unitaria. El hecho de que sea constante implica que $h'(r) = cr^{1-N}$ Por lo tanto $$ h(r) = A + B\cdot \begin{cases} \log r ,\quad & N=2 \\ r^{2-N},\quad & N>2 \end{cases} $$