Demostración de la definición positiva del tensor métrico.

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie incrustada en un espacio euclidiano de 3 dimensiones, $\mathbb{E}^3$ . Definimos ${\bf a}_{\alpha}$ en algún momento $P \in S$ como $\frac{d{\bf p}}{dx^{\alpha}}$ , donde $\bf p$ es el vector de posición expresado en coordenadas cartesianas: ${\bf p} = y^k {\bf E}_k$ , ${\bf E}_k$ es la base estándar de $\mathbb{E}^3$ y $x^{\alpha}$ son coordenadas utilizadas para trazar localmente $S$ .

Componentes del tensor métrico para $S$ , $a_{\alpha\beta}$ vienen dadas entonces por un producto interno ${\bf a}_{\alpha} \cdot {\bf a}_{\beta}$ . Definimos una forma bilineal $ds^2 : \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ como $ds^2 = a_{\alpha\beta} dx^{\alpha} dx^{\beta}$ .

Está claro que $ds^2$ es una forma simétrica como $a_{\alpha\beta} = a_{\beta\alpha}$ ¿pero qué es lo que lo convierte en positivo definitivo? Claramente, $ds^2 \geq 0$ así que $a_{\alpha\beta} dx^{\alpha} dx^{\beta} \geq 0.$ ¿Es el razonamiento de que esto debe ser cierto $\forall$ $a_{\alpha\beta}$ y por lo tanto $ds^2 = 0$ sólo cuando $dx^{\alpha}dx^{\beta} = 0$ ? ¿O el razonamiento tiene algo que ver con la estructura de $a_{\alpha\beta}$ ? Sabemos que sus elementos diagonales deben ser positivos. ¿Implica esto una definición positiva?

Gracias.

Answer 1

El formulario $ds^2$ es en realidad positivo definitivo.

Tenga en cuenta que $(x^1, x^2)$ se denominan carta local de $S$ es que hay un mapa suave $$ \phi : U \to S \subset \mathbb R^3$$ para que ${\bf a}_{1} \times {\bf a}_{2} \neq 0$ para todos $(x^1, x^2) \in U$ (Es decir, debe ser una parametrización regular). Esta condición obligaría a $ds^2$ para que sea positiva definida como $$\|{\bf a}_{1} \times {\bf a}_{2}\|^2 = \det a_{\alpha\beta}$$ por el La identidad de Lagrange .