$(1+x+...+x^{2n})^{\frac{1}{2n}}$ es convexo?

Question

Para el número natural $n$ , Dejemos que $f_n=(1+x+...+x^{2n})^{\frac{1}{2n}}$ . Entonces creo que $f_n$ es convexo. ¿Es cierto? ¿Y cómo puedo demostrarlo? He intentado demostrar que $f_n''>0$ . Pero no puedo probarlo.

Answer 1

Una pista: Utilizar la identidad $1 + x + x^2 + \cdots + x^k = \dfrac {x^{k+1}-1}{x-1}$ para reescribir la función y tomar la segunda derivada. Para demostrar $f''(x) \ge 0$ tendrá que demostrar que $1 + x + x^2 + \cdots + x^k \ge 0$ para todos $x$ si $k$ está en paz.