Suponga que tiene un campo $\mathbb{F}$ .
Demuestre que el polinomio $x^n-n\cdot1_{\mathbb{F}}\in \mathbb{F}[x]$ , donde $n\geq 2$ es solucionable por radicales.
Respuesta
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Dejemos que $f(x) = x^n - n\cdot 1_\mathbb{F}$ .
Como mencioné en los comentarios, si char $(\mathbb{F}) \ | \ n$ entonces $f(x) = x^n$ es solucionable por radicales ya que sus raíces son sólo $0_\mathbb{F}$ .
Supongamos que char $(\mathbb{F}) \not \mid \ n$ .
Si $n\cdot 1_{\mathbb{F}}$ tiene un $n^{th}$ arraigar en $\mathbb{F}$ (confieso que no sé si este caso debería darse realmente) entonces el campo de división de $x^n - n\cdot 1_{\mathbb{F}}$ es sólo una extensión ciclotómica. Por tanto, su grupo de Galois es abeliano y, por tanto, soluble.
Supongamos que $n\cdot 1_{\mathbb{F}}$ no tiene un $n^{th}$ arraigar en $\mathbb{F}$ .
Queremos demostrar que el grupo de Galois del campo de división es soluble. Utilizaremos el hecho de que si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo normal, entonces $$G \text{ is solvable} \iff H \text{ and } G/H \text{ are solvable}.$$
Dejemos que $K = \mathbb{F}(\omega,\sqrt[n]{n})$ sea el campo de división de $f(x)$ (aquí $\omega$ es una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad), $L = \mathbb{F}(\omega)$ , $G=Gal(K \backslash \mathbb{F})$ et $H \subseteq G$ sea el subgrupo de $G$ correspondiente a $L$ bajo la correspondencia de Galois. Es decir, el campo fijo de $H$ es $L$ .
Tenga en cuenta que $L$ es una extensión de Galois de $\mathbb{F}$ (es el campo de división de $x^n-1_\mathbb{F}$ ). Además $Gal(L\backslash\mathbb{F})$ es un grupo abeliano finito (de hecho es isomorfo a un subgrupo de $\left(\mathbb{Z}_n\right)^*$ ) y, por tanto, solucionable.
Por la correspondencia de Galois, $H$ es normal y $$G/H \cong Gal(L\backslash \mathbb{F}).$$ Así que $G/H$ es solucionable.
De nuevo por la correspondencia de Galois, $H \cong Gal(K\backslash L)$ . Las raíces de $f(x)$ son todos de la forma $\omega^k \sqrt[n]{n}$ . Si $\sigma \in Gal(K\backslash L)$ entonces $\sigma(\sqrt[n]{n}) = \omega^{r_\sigma}\sqrt[n]{n}$ para algunos $r_\sigma \in \mathbb{N}$ . Esto define un mapa de $Gal(K \backslash L) \to \mathbb{Z}_n$ tomando $\sigma$ a $\overline{r_\sigma} \in \mathbb{Z}_n$ . No es difícil demostrar que se trata de un isomorfismo.
Por lo tanto, $H \cong Gal(K \backslash L) \cong \mathbb{Z}_n$ es solucionable.
