Esto puede ser un poco abierto, pero me preguntaba: ¿hay alguna conexión natural entre la geometría y los números primos? Dicho de otro modo, ¿hay algún tema específico en cualquiera de los dos campos que pueda tener conexiones relativamente estrechas?
PS: Siéntase libre de interpretar el término natural en un sentido amplio; sólo lo incluí para evitar respuestas del tipo "toma [hecho sobre los primos] $\to$ [cadena de conexiones entre varias áreas de las matemáticas] $\to$ [¡Geometría!]"
He aquí un ejemplo, lejos de los mejores, de números primos que entran en un problema (relativamente) geométrico. Consideremos todos los puntos del círculo unitario, $X^2+Y^2=1$ . Obsérvese que al considerar esto como el conjunto de los números complejos $a+bi$ de valor absoluto uno, es decir $a^2+b^2=1$ , esto tiene una estructura de grupo natural. Explícitamente, $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ .
Ahora, esta es la pregunta: ¿Cuáles son los puntos racionales del círculo? Es decir, cuáles son los puntos $(a,b)$ en el círculo para el cual ambos $a$ y $b$ ¿son números racionales? Su primer caso interesante es $(3/5,4/5)$ . Por supuesto, hay una respuesta a esta pregunta que proviene de la solución clásica al problema de encontrar todos los triples pitagóricos. Pero yo quiero hacer una pregunta aritmética: ¿Cuáles son los posibles denominadores de todos los puntos racionales del círculo?
La respuesta sale de mirar los "primos" en el anillo de enteros de Gauss, pero iré al grano: un número aparecerá como el denominador (común) $D$ de un racional par $(a,b)$ en el círculo unitario si y sólo si los únicos primos que dividen $D$ son los de la forma $4k+1$ . Naturalmente, quiero los números racionales $a$ y $b$ para estar en los términos más bajos.
El Teorema de Gauss-Wantzel sobre polígonos construibles me viene inmediatamente a la mente. Esto establece que un polígono regular $n$ -es construible con regla y compás si $n$ es el producto de una potencia de $2$ y una colección de distintos Primas de Fermat .
El poder de $2$ sólo está ahí porque si se puede construir un $n$ -gon, se puede construir fácilmente un $2n$ -gono construyendo un triángulo isóceles en cada lado de la $n$ -gon. Haciendo esto repetidamente, se puede obtener un $2^mn$ -gon. Así que realmente, esto es sobre la naturaleza de los primos de Fermat.
¿Qué tal otra imagen sobre los números primos? Un número primo $p = 1 \times p$ y, por tanto, geométricamente es como un segmento unidimensional. Por otro lado, un número compuesto $c= a \times b$ , donde $a$ y $b$ son sus factores primos, es como un rectángulo que tiene un área $c$ con longitudes de lado $a$ y $b$ . Así que, en general, los números compuestos $c$ pueden imaginarse como paralelepípedos rectangulares multidimensionales con volúmenes $c= a \times b \times c \times d \cdots$ que tienen las longitudes de los lados correspondientes a sus factores primos. Por supuesto, la pregunta pertinente es: ¿conducen estas imágenes a resultados o conocimientos interesantes?
Un ejemplo sencillo: el número p>2 es primo si cualquier p-gon equiangular con longitudes de lado racionales es regular, véase, por ejemplo, http://www.cut-the-knot.org/Outline/Geometry/EquiangularP-gon.shtml
Pues bien, los números primos están muy relacionados con la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$ . Esto tiene una representación de producto que implica las raíces de la función. La Hipótesis de Riemann establece ahora que todas las raíces no triviales en el plano complejo se encuentran en la "línea crítica": $$Re(z)=\frac12$$ que puede considerarse como un rasgo geométrico.
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