Forma independiente de la base de las matrices de Pauli

Question

Para un sistema con dos estados posibles $|e\rangle$ y $|g\rangle$ , algunas fuentes se refieren a las matrices de Pauli como,

$$ \sigma_z = |e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|\\ \sigma_x = |e\rangle\langle g| + |g\rangle\langle e|\\ \sigma_y = -i|e\rangle\langle g| + i|g\rangle\langle e| $$

Algunas fuentes presentan las matrices de Pauli (sin especificar explícitamente el conjunto de bases) como,

$$ \sigma_z = \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\\ \sigma_x = \left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\\ \sigma_y = \left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}\right) $$

He observado que los dos conjuntos de ecuaciones anteriores coinciden para el conjunto de bases:

$$ |e\rangle = \left(\begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right)\\ |g\rangle = \left(\begin{array}{cc}0\\1\end{array}\right) $$

Te agradecería mucho si pudieras arrojar algo de luz sobre la forma genérica/independiente de la base de las matrices de Pauli. ¿Qué forma de las matrices de Pauli debo utilizar para el siguiente conjunto de bases?

$$ |e\rangle = \left(\begin{array}{cc}0\\1\end{array}\right)\\ |g\rangle = \left(\begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right) $$

Answer 1

Hay que distinguir entre un operador y una representación matricial del operador en base particular. La matriz es una tabla cuadrada que no sabe nada de una base, mientras que un operador puede tener diferente representación en diferentes bases que es un operador puede ser representado por diferentes matrices.

Las matrices de Pauli son un conjunto fijo de matrices utilizadas para describir sistemas de dos niveles y de espín-1/2. Son sólo matrices fijas, dadas por la segunda ecuación del PO. Por otro lado, los componentes de espín-1/2 o el hamiltoniano de un sistema de dos niveles se representarán en términos de matrices de Pauli de forma diferente.

Si la distinción anterior entre operadores y matrices parece dos abstracta, pensemos en las funciones de onda y los vectores base. En una base podemos tener la función de onda $$ |\psi\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} $$ En otra base la misma función de onda se escribirá como $$ |\psi\rangle=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} $$ est $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ en la primera ecuación diferente de $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ ? Sí, son vectores unitarios en diferentes representaciones, pero son la misma matriz de 2 por 1.

Answer 2

Set \begin{align} |e'\rangle & =|g\rangle=\left(\begin{array}{cc}0\\1\end{array} \(derecha) \tag{01a}\label{01a}\\ |g'|rangle & =|e\rangle=\left( \begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right) \tag{01b}\label{01b} \end{align} entonces \begin{align} \sigma'_z &= |e'\rangle\langle e'| - |g'\rangle\langle g'|= |g\rangle\langle g| - |e\rangle\langle e|=-\sigma_z \tag{02a}\label{02a} \\ \sigma'_x &= |e'\rangle\langle g'| + |g'\rangle\langle e'|= |g\rangle\langle e| + |e\rangle\langle g|=+\sigma_x \tag{02b}\label{02b} \\ \sigma'_y & = -i|e'\rangle\langle g'| + i|g'\rangle\langle e'|= -i|g\rangle\langle e| + i|e\rangle\langle g|=-\sigma_y \tag{02c}\label{02c} \end{align}