El cociente de grupos solubles es soluble - ¿Qué hay de malo en esta prueba?

Question

Pruébalo: $G$ es un grupo soluble y $H\trianglelefteq G$ . Entonces $G/H$ es solucionable.

Definición: Un grupo $G$ se dice que es soluble si existe una serie normal de $G$ tal que los factores son abelianos, es decir $G=G_0\trianglerighteq G_1\trianglerighteq \ldots \trianglerighteq G_n=\{1\},$ donde $G_{i}/G_{i+1}$ son abelianos.

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¿Qué hay de malo en la siguiente prueba? He buscado en MSE y parece que para cotizar $H$ muchos (como aquí ) considera la torre $G_iH$ Pero, ¿por qué no podemos tomar la imagen del mapa canónico como la de abajo?

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Dejemos que $\phi: G \rightarrow G/H$ sea el mapa canónico, entonces $\phi(G_i)$ forma una torre normal: $\phi(G_i)$ son grupos ya que son imágenes de mapas homomórficos, y dado $\phi(a) \in \phi(G_i)$ , $$ \phi(a)\phi(G_{i+1})\phi(a)^{-1} = \phi(aG_{i+1}a^{-1}) \subseteq \phi(G_{i+1}).$$ utilizando la normalidad de $G_{i+1}$ en $G_i$ .

$\phi(G_i)/ \phi(G_{i+1})$ es abeliano: Tenemos $$ \phi(a)\phi(G_{i+1}) \phi(b) \phi(G_{i+1}) = \phi(ab) \phi(G_{i+1})$$ desde $G_i/G_{i+1}$ es abeliana, $abG_{i+1} = baG_{i+1}$ Así que.., $ab= ba g'$ para algunos $g' \in G_{i+1}$ . Por lo tanto, $$ \phi(ab) G_{i+1} = \phi(ba)\phi(g')\phi(G_{i+1})= \phi(ba) \phi(G_{i+1}). $$ por lo que el grupo es abeliano.

Así, $G/H= \phi(G) \trianglerighteq \ldots \trianglerighteq \phi(1) = H$ es una torre abeliana.

Answer 1

Son la misma cosa porque para cada término de la torre cotizada por $H$ es decir $G_iH/H$ tenemos $$G_iH/H\cong G_i/G_i\cap H$$ por el segundo teorema del isomorfismo y el grupo de la derecha no es más que la imagen que se obtiene al someter $G_i$ al mapa $\phi$ ya que el núcleo es sólo $G_i\cap H$ y se aplica el primer teorema de isomorfismo.