Ecuación de Riccati y curvaturas principales

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un subconjunto abierto de una variedad riemanniana $M$ . Supongamos que $\Sigma:=\partial \Omega$ est $C^2$ . Sea $U$ sea una vecindad de $\Omega$ tal que $\exp_p(t\nu(p))$ es un difieomorfismo, donde $p\in\Sigma$ y $\nu$ es el campo vectorial normal unitario hacia el exterior a lo largo de $\Sigma$ . Consideramos ahora la función de distancia $d_\Sigma(x):=d(x,\Sigma)$ , $x\in U\setminus\Omega$ y la función de distancia al cuadrado $\eta_\Sigma(x):=d^2_\Sigma(x)$ . Denotemos el hessiano de $d_\Sigma$ por $S=\nabla\nabla d_\Sigma$ . Tenemos la ecuación de Riccati $$\dot{S}=-R(J(t),\nu(\gamma(t)))\nu(\gamma_t)-S^2.$$ Si $M$ es una forma espacial (por ejemplo $\mathbb R^n$ , $S^n$ , $\mathbb H^n$ ) y conocemos los valores propios de $S$ en el momento 0 (es decir, la curvatura principal de $\Sigma$ ), entonces utilizando la ecuación de Riccati podemos comparar los valores propios de $S(s)$ (es decir, la curvatura principal de $\Sigma_s=\{\exp_p(s\nu(p)):p\in \Sigma\}$ ) con los valores propios de $S(0)$ . Por ejemplo, cuando $M=\mathbb R^n$ si denotan los valores propios de $S(s)$ por $\kappa_i(s)$ entonces $$\kappa_i(s)=\frac{\kappa_i(0)}{1+s\kappa_i(0)}$$

Mi pregunta es ¿Y si sólo conocemos un límite inferior de curvatura seccional $\alpha$ ? Por ejemplo, ¿podemos tener alguna comparación explícita entre $\kappa_i(s)$ y $\bar{\kappa}_i(s)$ donde $\bar{\kappa}_i(s)$ son los valores propios de $\bar{S}(s)$ ? Aquí $\bar{S}(s)$ es la solución de la ecuación de Riccati en la forma espacial de curvatura $\alpha$ con el valor inicial $\bar{S}(0)=S(0)$ . Tengo la misma pregunta para los valores propios de $\nabla^2\eta_\Sigma$ .

Answer 1

Añadiré algunas opciones más para obtener las edades de las estrellas, además de la técnica del diagrama HR mencionada en la respuesta de Chris White.

Si se puede obtener un espectro óptico R=50.000 de una estrella con una relación señal/ruido decente, se obtendrá fácilmente la temperatura (hasta 100K), la gravedad superficial (hasta 0,1 dex) y la metalicidad (hasta 0,05 dex), además de una serie de otras abundancias elementales (incluido el Li) con precisiones de aproximadamente 0,1 dex.

La gravedad: A continuación, puede trazar la estrella en el plano log g (gravedad) frente a Teff y compararlo con las isócronas teóricas adecuadas para la metalicidad de la estrella. Este est la mejor manera de estimar la edad de una estrella de tipo solar (o más masiva), incluso si no se tiene una distancia y es el método más utilizado. El grado de eficacia y claridad de este método depende del estado evolutivo de la estrella. Para estrellas como el Sol, se obtiene una precisión de edad de quizás 2 Gyr. En el caso de las estrellas de menor masa, apenas se mueven mientras están en la secuencia principal en 10 Gyr, por lo que no se puede estimar la edad de esta manera a menos que se sepa que el objeto es una estrella de la pre-secuencia principal. En las estrellas jóvenes de pre-secuencia principal que se están contrayendo hacia la secuencia principal, entonces la gravedad medida a partir del espectro depende de la edad.

Abundancias de litio: Puedes mirar la abundancia de Li. La abundancia de Li disminuye con la edad para las estrellas de masa solar e inferiores. Esto funcionaría bastante bien para las estrellas de tipo solar de edades entre 0,3 y 2 Gyr y para las estrellas de tipo K de 0,1 a 0,5 Gyr y para las enanas M entre 0,02 y 0,1 Gyr, es decir, en el rango en el que el Li empieza a agotarse en la fotosfera y en el que desaparece por completo. La precisión típica podría ser un factor de dos. Una alta abundancia de Li en las enanas K y M suele indicar un estado de pre-secuencia principal.

Rotación: Si se puede obtener una tasa de rotación a partir del ensanchamiento de las líneas espectrales o de la modulación rotacional, entonces se puede utilizar la girocronología, que funciona porque las tasas de rotación de las estrellas dependen del tiempo. Una vez más, la aplicabilidad varía con la masa, pero en sentido contrario al de Li. Las enanas M mantienen una rotación rápida durante más tiempo que las enanas G. Por supuesto, se tiene el problema del ángulo de inclinación incierto si todo lo que se tiene es el ensanchamiento rotacional de un espectro.

Actividad magnética: Esto nos lleva a las relaciones entre actividad y edad. Se pueden medir los niveles de actividad magnética cromosférica en el espectro o la actividad de rayos X coronal. A continuación, combinar esto con las relaciones empíricas entre la actividad y la edad (por ejemplo, Mamajek & Hillenbrand 2008). Esto puede dar la edad con un factor de dos para estrellas de más de unos cientos de Myr. Sin embargo, está mal calibrado para estrellas menos masivas que el Sol. Pero, en general, una enana M más activa probablemente sea más joven que una enana M menos activa. Sin duda, debería distinguir entre una enana M de 2Gyr y una de 8Gyr.

Cinemática: Si se mide la velocidad de la línea de visión de su espectro, esto puede darnos al menos una idea probabilística de a qué población estelar pertenece la estrella. Las velocidades más altas tienden a indicar una estrella más antigua. Esto funcionaría mejor si tuvieras el movimiento propio (y preferiblemente también la distancia, según los resultados de Gaia). Si se dispone de la cinemática en 3D de una estrella joven, se puede proyectar su movimiento en el potencial galáctico y calcular cuánto tiempo ha viajado desde su lugar de nacimiento. Esto se ha hecho con algunos objetos (por ejemplo, estrellas OB fugitivas) para calcular cuánto tiempo han estado viajando (lo que, por supuesto, es un límite inferior para su edad).

Metalicidad: En un sentido probabilístico, las estrellas de baja metalicidad son más antiguas que las de alta metalicidad. Si se tratara de estrellas de hasta 8Gyr, sería bastante probable que tuvieran baja metalicidad.

Datación por radioisótopos: Como complemento, mencionaré también la datación por radioisótopos. Si se pueden medir las abundancias de isótopos de U y Th con vidas medias largas y luego hacer alguna conjetura sobre sus abundancias iniciales utilizando otros elementos del proceso r como guía, entonces se obtiene una estimación de la edad: la "nucleocosmocronología". En la actualidad, estas estimaciones son muy imprecisas: diferencias de factores de 2 para la misma estrella, dependiendo de los métodos que se adopten.

En resumen. Si se trata de enanas G, se pueden obtener edades con una precisión de alrededor del 20% utilizando log g y Teff a partir del espectro. En el caso de las enanas M, a no ser que se tenga la suerte de estar observando un objeto PMS joven con Li, la precisión será de unos pocos Gyr en el mejor de los casos para un objeto individual, aunque la combinación de estimaciones probabilísticas a partir de la actividad, la metalicidad y la cinemática de forma simultánea podría reducirla un poco.

Leer Soderblom (2013) ; Jeffries (2014) ; Soderblom et al. (2014) .