Límite de una secuencia de funciones holomorfas

Question

Dejemos que $f_n$ sea una secuencia de funciones holomorfas sobre un dominio $D \subset \mathbb{C}$ que convergen a una función $f$ y también convergen uniformemente en subconjuntos compactos. Supongamos que cada función tiene a lo sumo $m$ ceros (contados con multiplicidad) para algunas $m \in \{0, 1, 2, ... \}$ . Demuestre que $f$ es exactamente cero en $D$ o tiene como máximo $m$ ceros en $D$ .

No estoy seguro de cómo enfocar este problema, pero una pista para empezar sería muy apreciada.

Contexto: Estoy estudiando para una calificación.

Answer 1

Dejemos que $\Gamma\subset D$ sea una curva que $f(z)\ne 0$ para cualquier $z\in\Gamma$ . Denote $$m = \min_{z\in\Gamma}|f(z)|$$ Como tenemos convergencia en conjuntos compactos, concretamente en el compacto encerrado por $\Gamma$ entonces $n\ge n_0$ tenemos $$|f_n(z)-f(z)|<m\le f(z).$$

Sigue desde el Teorema de Rouché que las funciones $f$ y $f_n=(f_n-f)+f$ tienen el mismo número de ceros dentro de $\Gamma.$