Prueba rigurosa del límite de $x^x$ como $x \to 0$

Question

Considere $f:(0,2) \Rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(x) = x^x$ . Supongamos que $f$ tiene un límite en $0$ y encontrar ese límite.

Pista: Elige una secuencia $\{x_n\}_{n=1} ^\infty$ convergiendo a $0$ tal que el límite de la secuencia $\{f(x_n)\}_{n=1}^\infty$ es fácil de determinar.

Answer 1

Una pista: $x_n=e^{-n}$ y $\log f(x_n)=x_n\log(x_n)=-ne^{-n}$

Answer 2

En primer lugar, observe que $x^x = e^{x\ln x} = e^{\ln x/(1/x)}$ .

Entonces usa la regla de L'Hopital para encontrar $\lim\limits_{x\downarrow 0}\dfrac{\ln x}{1/x}$ .