Líneas normales a una parábola, y áreas limitadas por ellas

Question

Esta es la cuestión:

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Lo que he hecho:

(a) Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola en un punto $(x_0,y_0)$ est $y = {-1\over 2kx_0} + kx_0^2 + {1\over 2k}$

$$ f(x) = kx^2 $$

$$ f( x_{0}) = kx_{0}^2 $$

$$ f'(x) = 2kx $$

$$ f'(x_{0}) = 2kx_0 $$

$$ Normal = -1/m $$

$$ m= {-1\over 2kx_0} $$

$$ y-y_1 = m (x-x_1) $$

$$ y-kx_0^2 = {-1\over 2kx_0}(x-x_0) $$

$$ y = {-1\over 2kx_0} + kx_0^2 + {1\over 2k} $$

(b) Demuestre que la ecuación de la recta normal con la coordenada y mínima es $ y = \frac{-\sqrt{2}}{2}x + {1\over k} $

$$ y = \frac{-\sqrt{2}}{2}x + {1\over k} $$

$$ {-1\over m} = \frac{-\sqrt{2}}{2} $$

$$ m = \sqrt{2} $$

$$ f'(x) = 2kx $$

$$ 2kx = \sqrt{2} $$

$$ x = {\sqrt{2}\over 2k} $$

$$ f({\sqrt{2}\over 2k}) = {1\over 2k}$$

$$ y-y_1 = m (x-x_1) $$

$$ y - {1\over 2k} = \frac{-\sqrt{2}}{2} (x-{\sqrt{2}\over 2k}) $$

$$ y = \frac{-\sqrt{2}}{2}x + {1\over k} $$

(c) Encuentra la ecuación de la normal que produce la menor área entre ella y la parábola, y halla esta área.

Esta es la parte en la que estoy atascado ¿cómo puedo saber qué línea producirá la menor superficie?

Answer 1

La parte (a) me parece correcta.
Para la parte (b), tienes que encontrar el otro punto $(x_1,y_1)$ en función de $x_0$ y luego encontrar donde $\frac{dx_1}{dx_0}=0$ . Has partido de la respuesta, y has comprobado que obedece a la parte (a), pero no has explicado por qué ésta tiene el punto más bajo.
Para la parte (c), una vez que haya $x_1$ de la parte (b) y la línea de la parte (a), puedes calcular el área $A=\int_{x_1}^{x_0}(y-kx^2)dx$ . Entonces $dA/dx_0=0$ para el área mínima.

Answer 2

Por simetría, podemos suponer $x_o > 0$ . Así, primero encontramos las intersecciones de la línea normal en $(x_0,kx_0^2)$ y la parábola $y = kx^2$ . Tenemos: $kx^2 = \dfrac{-x}{2kx_0}+kx_0^2+\dfrac{1}{2k}$ . Esto da $2$ soluciones: $x = x_0, -x_0-\dfrac{1}{2k^2x_0}$ . Por lo tanto, el área entre la línea normal en $(x_0,kx_0^2)$ y la parábola es: $\displaystyle \int_{-x_0 - \frac{1}{2k^2x_0}}^{x_0} \left(\dfrac{-x}{2kx_0}+kx_0^2 + \dfrac{1}{2k}-kx^2\right)dx$ . A partir de esto se tiene un polinomio cúbico en $x_0$ y puedes usar el derivado para terminar.