Torneo de eliminación 1

Question

8n jugadores $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , ..... $P{_8}{_n}$ jugar un torneo de eliminación. Se sabe que todos los jugadores tienen la misma fuerza. El torneo se desarrolla en tres rondas en las que los jugadores se emparejan al azar en cada una de ellas. Si se da que $P_1$ gana en la tercera ronda entonces cuál es la probabilidad condicional de que $P_2$ pierde en la segunda ronda.

Intenté aplicar el concepto de probabilidad condicional seguido del teorema de la probabilidad total pero, de alguna manera, hay demasiados casos que considerar. Cualquier ayuda/sugerencia/solución será muy apreciada.

Answer 1

$2n$ jugadores tienen para perder en la segunda ronda, y $P_1$ no está entre ellos mientras que $P_2$ es,

así $\Bbb P(P_2$ pierde en la segunda ronda $ | P_3$ gana la tercera ronda) $= \dfrac{2n}{8n-1}$

Answer 2

No estoy seguro de mi trabajo y tal, pero mi pensamiento es que si $X_{n,k}$ es la probabilidad de $P_n$ ronda ganadora $k$ entonces sabemos lo siguiente: si $X_{1,3}$ es verdadero, entonces $X_{1,2}$ debe ser verdadera, es decir $P_1$ ganó en la segunda ronda. Entonces $P(X_{2,2}) = \frac{1}{2}$ si $P_2$ no jugó $P_1$ en la primera ronda, pero $P(X_{2,2})=0$ si es que juegan entre ellos. También sabemos que hay $\frac{8n}{2}$ jugadores en el $2^{nd}$ ronda, dejando $\frac{8n}{2}-1$ jugadores para $P_2$ para jugar en contra. Asumiendo que ganó la ronda 1 y ponderando cada probabilidad por su frecuencia, $$P(X_{2,2} | X_{2,1})=\frac{1}{2}*\frac{\frac{8n}{2}-1}{\frac{8n}{2}}+0*\frac{1}{\frac{8n}{2}} = \frac{8n-2}{16n} = \frac{4n-1}{8n}$$ Pero también sabemos que el $P(X_{2,1})$ es $\frac{1}{2}$ . Por lo tanto, $$P(X_{2,2} | X_{2,1})=\frac{P(X_{2,1} \text{ and } X_{2,2})}{P(X_{2,1})} = \frac{P(X_{2,1})*\frac{4n-1}{8n}}{\frac{1}{2}} = P(X_{2,1})\frac{4n-1}{4n}$$ $$P(X_{2,1})=\frac{1}{2}*\frac{8n-1}{8n} \implies P(X_{2,2} | X_{2,1})=\frac{(8n-1)(4n-1)}{64n^2}$$

EDITAR : La corrección de errores aritméticos me dio $\frac{4n-1}{8n}$ que está más cerca, pero todavía sólo converge a 1/2, y de ninguna manera se ajusta a la respuesta de true blue anil (que es la correcta).

EDITAR 2 : Creo que he tenido en cuenta $P_2$ jugando a $P_1$ en la primera ronda, pero $\frac{(8n-1)(4n-1)}{64n^2}$ parece estar más lejos y aún así converge a 1/2.

Answer 3

Otra forma (más larga) de resolver, ronda a ronda para ayudar a Vedavart1 a encontrar el fallo en su trabajo.

Es suficiente con rastrear sólo $P_2$ se da que $P_1$ ganó la tercera ronda.

$\underline{Round\;1}$

Para ganar, $P_2$ no puede jugar contra $P_1$ Por lo tanto $\Bbb P(P_2$ gana) $=\dfrac{8n-2}{8n-1}\cdot \dfrac12 = \dfrac{4n-1}{8n-1}$

$\underline{Round\;2}$

Habiendo pasado a la ronda $2$ , $P_2$ necesita perder entre $4n$ jugadores

Esto requiere $\Bbb P(P_2$ juega $P_1$ y pierde) o $\Bbb P(P_2$ juega con otra persona y pierde)

$= \dfrac1{4n-1}\cdot 1 + \dfrac{4n-2}{4n-1}\cdot \dfrac12 = \dfrac{2n}{4n-1}$

$\underline{Final:result}$

Por la ley de la multiplicación, se requiere $Pr = \dfrac{4n-1}{8n-1}\cdot\dfrac{2n}{4n-1} = \dfrac{2n}{8n-1}$