Cómo encontrar el número de raíces dentro de un rango para funciones que no son polinomios

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función continua univariante con un cierto número de raíces dobles. Para cualquier intervalo $[a,b]$ , ¿se puede saber qué cantidad de raíces de $f(x)$ están en ese intervalo? La función específica que tenía en mente era $$f(x)=\sin^2(\frac{n}{x}\pi)+\sin^2(x \pi)$$ donde $n$ puede ser cualquier número entero.

EDITAR: También aceptaré un algoritmo que pueda decir, en un intervalo $[a,b]$ Si existe al menos una raíz allí.

Answer 1

Se garantiza que, en cualquier intervalo dado, si $f'$ tiene $n$ ceros, $f$ tiene como máximo $n+1$ pero no creo que haya una regla general que se aplique en todos los contextos (aparte del Teorema de Bolzano)

Answer 2

Para su función particular, las raíces ocurren donde

$$\begin{cases}\dfrac nx=k,\\x=l\end{cases}$$ para los enteros $k,l$ . Esto requiere

$$n=kl.$$

Si $n$ es primo, hay cuatro soluciones: $x=-n,x=-1,x=1,x=n$ . En caso contrario, hay que tener en cuenta todos los divisores de $n$ que se puede encontrar a partir de su descomposición primaria.

Dudo que haya una manera fácil de contar las raíces en un intervalo dado; esto parece estar en el mismo orden de dificultad que la distribución de los primos.

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El caso particular de $n=3595$ es simple: las soluciones son

$$-3595,-719,-5,-1,1, 5, 719, 3595.$$

Obsérvese que en lugar de calcular el número de soluciones en $[a,b]$ se pueden contar las soluciones en $(-\infty,x]$ y deduzcan $[a,b]$ por sustracción.