Construir un isomorfismo de grupo $\alpha : \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^n$ s.t. $g=f \circ \alpha$ ?

Question

Supongamos que tenemos morfismos grupales suryentes $$f: \mathbb{Z}^n\rightarrow A \qquad g:\mathbb{Z}^n\rightarrow A.$$

Cómo construir un isomorfismo de grupo $\alpha:\mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}^n$ tal que $g=f \circ \alpha$ ?

Answer 1

Aparentemente no tengo el privilegio de añadir un comentario todavía, pero me gustaría señalar que la respuesta de Dylan es correcta ya que un homomorfismo en un grupo abeliano libre está determinado por donde envía la base. SIN EMBARGO el problema original no tiene una solución general ya que en general $\alpha$ no será un isomorfismo.

Por ejemplo, si $n=1$ , $A=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ , $f(1)=[1]$ y $g(1)=[2]$ (surjetivo ya que $2$ y $5$ son coprimos), entonces no existe ningún isomorfismo $\alpha:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tal que $g=f\circ\alpha$

Answer 2

Esto era demasiado largo para un comentario, así que lo voy a publicar aquí. No consideres esto como una respuesta completa; no estoy diciendo tal cosa. Sólo digo que el problema no es tan general como parece.

$f : \mathbb Z^n \to A$ es suryente, por lo que $\mathbb Z^n / \mathrm{Ker} \, f \cong A$ . Por las mismas razones, $\mathbb Z^n/ \mathrm{Ker} \, g \cong A$ Por lo tanto $$ \mathbb Z^n / \mathrm{Ker} \, f \cong \mathbb Z^n / \mathrm{Ker} \, g. $$ Dicho todo esto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo : $$ \begin{matrix} \mathbb Z^n & \overset{\alpha}{\longleftarrow} & \mathbb Z^n \\\ \downarrow f & & \downarrow g \\\ \mathbb Z^n/ \mathrm{Ker} f & \overset{\varphi_1^{-1} \circ i \circ \varphi_2}{\longleftarrow}& \mathbb Z^n/ \mathrm{Ker} g \\\ \downarrow \varphi_1 & & \downarrow \varphi_2 \\\ A & \overset{i}{\longleftarrow} & A \\\ \end{matrix} $$ donde $\varphi_1$ , $\varphi_2$ son isomorfismos y $i$ es el mapa de inclusión. La cuestión es si $\alpha$ encaja ahí como un isomorfismo (es decir, existe). Bien, podemos reducirnos al estudio del mapa $\psi = i \circ \varphi_2 \circ g$ y mira el diagrama $$ \begin{matrix} \mathbb Z^n & \overset{\psi}{\longrightarrow} & A \\\ & & \uparrow \varphi_1 \\\ & & \mathbb Z^n / \mathrm{Ker} f\\\ \end{matrix} $$ y preguntarnos si este diagrama conmuta. Como $\varphi_1$ es un isomorfismo es inyectivo y $\psi$ es suryente, por lo que podemos completar este diagrama con un morfismo único $\Phi$ tal que $\psi = \varphi_1 \circ \Phi$ . Ahora no sé cómo TeX esto pero eso nos da $\Phi$ pasando por la parte superior derecha $\mathbb Z^n$ al centro izquierda $\mathbb Z^n / \mathrm{Ker} f$ y he demostrado que este mapa es único. Todo lo que tenemos que hacer ahora es completar el diagrama $$ \begin{matrix} \mathbb Z^n & \overset{\Phi}{\longrightarrow} & \mathbb Z^n / \mathrm{Ker} f \\\ & & \uparrow f \\\ & & \mathbb Z^n \\\ \end{matrix} $$ por lo que, en otras palabras, he reducido el problema para la arbitrariedad $A$ al problema de tratar con algún cociente de $\mathbb Z^n$ ; dado $f : \mathbb Z^n \to \mathbb Z^n$ y $\Phi : \mathbb Z^n \to \mathbb Z^n / \mathrm{Ker} f$ se completa este diagrama si y sólo si se completa el diagrama anterior para cualquier $f$ , $g$ . Dado que no hay ninguna razón obvia por la que este diagrama deba completarse, espero que haya contraejemplos.