Dejemos que $E \subset \mathbb{C}$ ser compacto y totalmente desconectado. ¿Existe una forma elemental de demostrar que $\mathbb{C} \setminus E$ ¿está conectado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay muchas formas topológicas "elementales" de demostrarlo. Por supuesto, en algún momento habrá que utilizar algunas propiedades del plano complejo. Por ejemplo, no es difícil demostrar que cualquier conjunto que separe la esfera de Riemann debe contener la frontera de un dominio $U$ cuyo complemento es conexo; es decir $U$ es de conexión simple, y por lo tanto $\partial U$ está conectado. Así que cualquier conjunto (no necesariamente cerrado, por cierto) que desconecte el plano contiene un continuo del plano que lo desconecta. Por supuesto, esto todavía utiliza algo (como se menciona en la pregunta en MathOverflow, un hecho clave es que la unión de dos conjuntos compactos disjuntos que no desconectan el plano tampoco desconecta el plano).
Esta es la prueba más elemental que se me ha ocurrido en el momento. De nuevo, necesitaremos utilizar algunas propiedades del plano, y también utilizaremos propiedades elementales de la convergencia de Hausdorff de los continuos.
Lema. Supongamos que $A\subset\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ desconecta $0$ de $\infty$ . Entonces $A$ contiene un continuo plano no trivial que separa $0$ de $\infty$ .
Prueba. En primer lugar, observamos que, para algunos $\varepsilon$ , $A$ contiene un conjunto cerrado $$B\subset \{x\in A: \varepsilon < \|x\| < 1/\varepsilon\}$$ que separa $0$ de $\infty$ . De hecho, esto se deduce de la definición de conectividad: Existe un conjunto abierto y acotado $U$ tal que $\partial U$ está contenida en $A$ , por lo que podemos establecer $B := \partial U$ .
Ahora cubre el plano con una cuadrícula de pequeños cuadrados de longitud lateral, digamos, $1/n$ ( $n$ suficientemente grande), y que $B_n$ sea la unión de los cuadrados (cerrados) que intersecan $B$ . Entonces $B_n$ separa $0$ de $\infty$ . Ahora es un ejercicio elemental (aunque quizás tedioso) demostrar que $B_n$ tiene un componente conectado $\tilde{B_n}$ que separa $0$ de $\infty$ . (Esto es esencialmente un hecho discreto sobre una red bidimensional).
Dejemos que $C$ sea un límite Hausdorff de la secuencia $\tilde{B_n}$ . Dado que cada $\tilde{B_n}$ tiene un diámetro mayor que $2\varepsilon$ y esta secuencia está uniformemente acotada, el límite es un continuo no trivial. Por construcción, $C\subset B$ y no es difícil ver que $C$ también debe separar $0$ de $\infty$ (aunque no lo necesitamos para la pregunta original).
¿Tiene esto sentido o me estoy perdiendo algo?
