Tengo problemas con un problema que implica grupos de factores.

Question

Estoy teniendo muchos problemas con este problema. Si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería mucho:

Supongamos que $ G $ es un grupo y $|G : Z(G)|=4$ . Demostrar que $G/Z(G)\approx \mathbb Z_2 \oplus \mathbb Z_2 $ .

Answer 1

Hay un resultado general que puedes usar aquí (deberías probarlo, primero): Si $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliana, por lo que $|G:Z(G)|=1$ . Por lo tanto, dado que los únicos grupos de orden $4$ son $\Bbb Z_4$ y $\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_2$ y como el primero es cíclico, entonces sólo tenemos una posibilidad para la clase de isomorfismo del grupo cociente $G/Z(G)$ .

Answer 2

Probablemente ya has observado esto, pero $H := G/Z(G)$ tiene que ser un grupo de orden 4, y los únicos tipos de isomorfismo de grupos de orden 4 son $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2$ . Así que si usted puede demostrar que $H$ no puede ser un grupo cíclico, estarías acabado.