Función generadora generalizada para coeficientes binomiales

Question

Estoy interesado en el comportamiento asintótico de

$$ f_n(2,2) := \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} 2^k $$

para $n\to\infty$ . Más concretamente, quiero encontrar la base $b$ tal que para cualquier $\epsilon > 0$ se mantiene lo siguiente:

$$ \frac{f_n(2,2)}{(b+\epsilon)^n} \to 0 \quad \text{and} \quad \frac{f_n(2,2)}{(b-\epsilon)^n} \to \infty.$$

Enfoque: Existe esta función generadora de los coeficientes binomiales $$ f_n(1,x) := (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k. $$

¿Existe tal vez algo similar para esta función generalizada $f_n(c,x)$ con $$f_n(c,x) := \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} cn \\ k \end{pmatrix} x^k ?$$ O, simplemente, alguien tiene una idea de cómo conseguir la base $b$ para $f_n(2,2)$ ?

Gracias

Answer 1

Dado que los términos de la suma $\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{k}2^k $ están aumentando rápidamente, tiene sentido realizar una reindexación $k\mapsto n-k$ y escribir dicha suma como $$ 2^n\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n-k}\frac{1}{2^k}=2^n\binom{2n}{n}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!^2}{2^k(n-k)!(n+k)!}=2^n\binom{2n}{n}\cdot\phantom{}_2 F_1(1,-n;n+1,-\tfrac{1}{2}) $$ donde la última función hipergeométrica es convergente a $2$ como $n\to +\infty$ por el teorema de convergencia dominada. En particular $$ \sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{k}2^k \sim \frac{2^{3n+1}}{\sqrt{\pi n}} $$ como $n\to +\infty$ Por lo tanto $b=\color{red}{8}$ . Una aproximación más precisa (encerrando el segundo término de la expansión asintótica) es $\frac{2^{3n+1}}{\sqrt{\pi n}\left(1+\frac{3}{n}\right)}$ .

Answer 2

Probablemente no sea muy útil.

Como Jack D'Aurizio mostró en su respuesta, estás entrando en el mundo de las funciones hipergeométricas y $$f_n(c,x) = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} c\,n \\ k \end{pmatrix} x^k =(x+1)^{c \,n}-x^{n+1} \binom{c\, n}{n+1} \, _2F_1(1,-c\,n+n+1;n+2;-x)$$