¿Existe una forma concisa de expresar $ \left(\vec{x}\cdot\vec{z}\right)\left(\vec{y}\cdot\vec{z}\right) $

Question

Dado que $\vec{x}$ , $\vec{y}$ & $\vec{z}$ son tres vectores arbitrarios en $\mathbb{R}^3$ ¿existe una forma concisa de expresar $ \left(\vec{x}\cdot\vec{z}\right)\left(\vec{y}\cdot\vec{z}\right) $ en términos de $\vec{z}$ , $\left(\vec{x}\times\vec{y}\right)$ y tal vez $\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)$ ¿sólo?

Answer 1

$$ (y\cdot z)(x\cdot z) = (x\cdot y)\,||z||^2 -\ \left( (x\times z) \cdot (y\times z) \right) $$ Se obtiene por expansión del tercer término.

Answer 2

$(x\times y)\times z=(y\cdot z)x-(x\cdot z)y\\ x\times(y\times z)=(x\cdot y)z-(x\cdot z)y$

Restando esto obtenemos $(y\cdot z)x-(x\cdot y)z$ y la multiplicación escalar por $z$ , como $z\perp (x\times y)\times z$ , se obtiene $$(y\cdot z)(x\cdot z) = -\ \left( (x\times (y\times z))\,\cdot z\right) \ + (x\cdot y)\,||z||^2$$

Bueno, esto no es realmente agradable. Probablemente con matriz multiplicación, es más útil, ya que $(x\cdot y)=x^Ty$ donde los vectores se consideran matrices culomn. $$(x\cdot z)(y\cdot z)=x^Tzy^Tz \,.$$