Hola tengo un problema con la búsqueda $g'_{w}$ en $(0,0,0)$ donde $w=[2,1,1] $ de $g(x,y,z)=f(e^{-x}+y,e^{y}-z,e^{-z}-x) $ donde $f$ es diferenciable y su gradiente en $(0,0,0) $ es $[1,2,3]$ y en $(1,1,1) $ es $[-1,-2,-3]$ así que $g'_{w}=<grad(g),w>$ de acuerdo con esto sólo necesito encontrar $grad(g)$ en $(0,0,0)$ . $g(0,0,0)=f(1,1,1)$ como sabemos $grad (g)=(g'_{x},g'_{y},g'_{z})$ Así que $grad (g)$ en $(0,0,0) $ es $grad (f)$ en $(1,1,1)$ ? No estoy seguro de ello ya que no estoy seguro de si $g$ es diferenciable en (0,0,0)
Respuesta
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Puedo decir que $g$ es diferenciable en $(0,0,0)$ pero su enfoque está algo roto.
Lo que utilizas básicamente es la regla de la cadena, pero en tu planteamiento parece que has olvidado diferenciar la función interna. Para que quede más claro podrías poner
$$h(x,y,z) = (e^{-x}+y, e^y-z, e^{-z}-x)$$
Entonces $g(x,y,z) = f(h(x,y,z))$ la regla de la cadena dice que $g' = f'(h)\cdot h'$ . Ahora
$$h' = \begin{pmatrix}-e^{-x} & 1 & 0 \\ 0 & e^y & -1 \\ -1 & 0 & -e^{-z} \end{pmatrix}$$
es decir, las filas son los gradientes de cada componente de $h$ . Especialmente en el cero que tenemos:
$$h'(0,0,0) = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Y sabemos que $h(0,0,0)=(1,1,1)$ así que $g'(h(0,0,0)) = g'(1,1,1) = (-1, -2, -3)$ por lo que el gradiente de $f$ a cero se convierte en
$$f'(0,0,0) = \begin{pmatrix}-1 -2 -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -3 & 5\end{pmatrix}$$
También puede utilizar el enfoque más directo y considerar la función $\phi(t) = g(wt) = f(h(wt))$ en $t=0$ :
$$\phi(t) = f(e^{-2t}+t, e^t-t,e^{-t}-2t)$$
Ahora la derivada interna es $(-2e^{-2t}+1, e^t-1, -e^{-t}-2)$ es decir $(-1, 0, -3)$ en $t=0$ por lo que la derivada de $\phi$ es $f'_{(-1,0,1)} = \nabla f(0)\cdot(-1, 0, -3) = (-1, -2, -3)\cdot(-1, 0, -3) = 10$
