Mostrando $\{(z - 2, z + 2): z \in \mathbb Z\}$ es una cubierta abierta de $[-3, 3]$

Question

Este ejemplo se da en mi libro sin pruebas por lo que estaba tratando de demostrarlo desde hace un tiempo.

He probado esto de abajo.

Por Archimedian, $\exists n \in \mathbb N, \ n > x + 2$ para $x \in [-3, 3]. $ Entonces $n + 2 > x$ . Esto no funcionará ya que queremos mostrar $z + 2 > x, \ z \in \mathbb Z.$

A continuación, la longitud de $[-3, 3]$ es $|-3 - 3| = |-6| = 6$ y la longitud de $(z - 2, z+ 2)$ es $|z - 2 - z - 2| = |-4| = 4$ y así $[-3, 3]$ no cabe dentro $(z - 2, z+ 2)$ lo que significa que no podemos mostrar $x \in [-3, 3] \implies \ x \in (z - 2, z+ 2) \implies \ x \in \bigcup (z - 2, z+ 2)$ . Pero entonces no es difícil de probar $\mathbb R \subset (-n, n), \ n \in \mathbb N.$ Por Archimedian, $\forall r \in \mathbb R \ \exists n \in \mathbb N, \ n > r$ . Entonces $-n < - r.$ Así, $-n < -r < r < n$ y así $r \in (-n, n).$ Aunque esto funciona, $|\mathbb R| > |(-n, n)| (maybe).$

Lo único que se me ocurre es construir realmente conjuntos superpuestos $S_i$ para ciertos valores de $z \in \mathbb Z$ s.t. $[-3, 3] \subset \bigcup S_i.$

¿Existe una prueba mejor y más elegante para esta afirmación?

Answer 1

Cada punto de $\mathbb{R}$ es como máximo $1/2$ de un número entero para que el conjunto cubra todo $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Creo que no te das cuenta de lo mínima y simple que es la afirmación de que "tal y tal es una cubierta abierta". Sólo significa que la unión de los conjuntos contiene al conjunto.

$[-3, 3] \subset (-4,4) = (-4,-2)\cup (-3,3)\cup.... (3,4) = \cup_{z\in\{-3,-2,...,1,2\}}\subset \{(z-2,z+2)|z\in \mathbb Z\}$ .

"Lo único que se me ocurre es construir realmente conjuntos superpuestos Si para determinados valores"

Por qué no lo haría ¿quieres hacerlo? Hacerlo es trivial y obviamente lo haces especificando los enteros de $-3$ a $3$ . O simplemente afirmar que dicha cobertura recorre todos los reales (y por tanto todos los subconjuntos de los reales) porque cada intervalo se superpone tanto a su sucesor como a su predecesor. Que es una prueba completa y exhaustiva.

No hay que hacer nada más. Esto no pretendía ser un rascador de fideos. No pretendía ser más que una declaración como $(2,3) \subset (-5, 27)$ . Se supone que es evidente. Usted puede pruébalo si quieres, pero no se espera que lo necesites.