Demuestre que hay infinitos enteros positivos $k$ tal que $\phi(n)=k$ tiene exactamente dos soluciones donde $n$ es un número entero positivo

Question

Demuestre que hay infinitos enteros positivos $k$ tal que la ecuación $\phi(n)=k$ tiene exactamente dos soluciones, donde $n$ es un número entero positivo.

No estoy del todo seguro de por dónde empezar o terminar con este problema. Sé que $\phi$ La notación establece que $\phi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_S})$

pero aparte de eso estoy perdido.

Answer 1

Dejemos que $k = 2 \times 3^{6m + 1}$ . Afirmamos que si $m > 0$ entonces $\phi(n) = k$ tiene exactamente $2$ soluciones. (Para $m = 0$ tiene cuatro soluciones: $7$ , $9$ , $14$ y $18$ .)

Dejemos que $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_i^{a_i}$ , donde $p_j$ es un número primo, y $a_j$ es un número natural positivo. Entonces $n$ es una solución si y sólo si $$ p_1^{a_1 - 1} p_2^{a_2 - 1} \cdots p_i^{a_i - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) \cdots (p_i - 1) = k. $$

Observamos que si $n$ tiene al menos dos factores primos Impares $p$ y $q$ entonces $(p - 1)(q - 1)$ es un factor de $\phi(n)$ . Por lo tanto, $4$ es un factor de $\phi(n)$ y sol $n$ no es una solución.

Así, cualquier solución $n$ es de la forma $n = 2^\alpha \cdot p^\beta$ donde $p$ es algún número primo impar, y $\alpha$ y $\beta$ son números naturales, posiblemente iguales a $0$ . Si $\alpha > 2$ entonces $\phi(8) = 4$ es un factor de $\phi(n)$ y así $n$ no es una solución. Así, $\alpha \in \{0, 1, 2\}$ .

Supongamos que $\alpha = 2$ . Entonces, si $\beta > 0$ tenemos que $2(p - 1)$ es un factor de $\phi(n)$ y así $4$ es un factor de $\phi(n)$ y así $n$ no es una solución. Por lo tanto, si $\alpha = 2$ entonces $\beta = 0$ y así $n = 4$ . Pero $\phi(4) = 2$ no es divisible por $3$ por lo que no es igual a $2 \times 3^{6m + 1} = k$ .

Por lo tanto, debemos tener que $n = p^\beta$ o $n = 2 p^\beta$ . En cada caso, tenemos que $$ \phi(n) = p^\beta - p^{\beta - 1}. $$

Por lo tanto, debemos resolver la ecuación $$ p^{\beta - 1} (p - 1) = 2 \times 3^{6m + 1}. $$

Si $\beta = 1$ entonces esto es equivalente a $p - 1 = 2 \times 3^{6m + 1}$ . No observamos que $2 \times 3^{6m + 1} + 1 \equiv 2 \times 3 + 1 \equiv 0 \pmod 7$ por lo que esto implica que $p = 7$ . Esto corresponde a $m = 0$ . Estamos considerando el caso en el que $m > 0$ por lo que podemos suponer a partir de ahora que $\beta > 1$ .

Desde $\beta > 1$ observamos que $p \mid 2 \times 3^{6m + 1}$ y así tenemos que $p = 3$ . Por lo tanto, debemos resolver la ecuación $$ 2 \times 3^{\beta - 1} = 2 \times 3^{6m + 1}. $$ Esto tiene claramente la solución única $\beta = 6m + 2$ por lo que las dos soluciones de la ecuación $\phi(n) = k$ vienen dadas por $n = 3^{6m + 2}$ y $n = 2 \times 3^{6m + 2}$ .