Una función absolutamente continua, ¿es posible?

Question

¿Es esto posible?

$\{f_n(t)\},n\geq1, t\in[0,1],$ es una secuencia de funciones absolutamente continuas con $f_n(0)=f_n(1)=0.$

$$\int_0^1f_n'(t)^2dt\leq C<\infty,$$ pero $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\left(\frac{f_n(t)}{1-t}\right)^2dt=\infty.$$

Creo firmemente que esto es IMPOSIBLE, ¿alguien puede ayudar? Muchas gracias...

Answer 1

Dejemos que $0<h<1$ . Lo tenemos:

$$\int_0^h \left(\frac{f_n(t)}{1-t}\right)^2dt= \left[\frac{f_n(t)^2}{1-t}\right]_0^h -2\int_0^h \frac{f_n(t)f_n^{\prime}(t)}{1-t}dt$$ Lo tenemos: $$ \left[\frac{f_n(t)^2}{1-t} \right]_0^h=\frac{f_n(h)^2}{1-h}=f_n(h)\frac{f_n(h)}{1-h}$$ Pero $\displaystyle \frac{f_n(h)}{1-h} \to -f_n^{\prime}(1)$ como $h\to 1$ y $f_n(h)\to f_n(1)=0$ . Por lo tanto, demostramos que si $h\to 1$ que $$ \int_0^1 \left(\frac{f_n(t)}{1-t}\right)^2dt= -2\int_0^1 \frac{f_n(t)f_n^{\prime}(t)}{1-t}dt$$

Ahora utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$$\left(\int_0^1 \frac{f_n(t)f_n^{\prime}(t)}{1-t}dt\right)^2\leq \int_0^1 \left(\frac{f_n(t)}{1-t}\right)^2dt\int_0^1 \left(f_n^{\prime}(t)\right)^2dt$$

Por lo tanto, $\displaystyle \int_0^1 \left(\frac{f_n(t)}{(1-t)}\right)^2 dt=0$ o $$\int_0^1 \left(\frac{f_n(t)}{(1-t)} \right)^2dt\leq 4\int_0^1(f_n^{\prime}(t))^2dt\leq 4c$$ y hemos terminado.