$△ABC$ es isósceles si la bisectriz de $∠A$ biseca $BC$ ?

Question

Dibujar triángulo $A, B, C$ con la notación habitual.

Si la bisectriz $s$ del ángulo $\alpha$ se cruza con el lado $a$ en $S$ y si $|AS| = |BS|$ ( $S$ es un punto medio de $a$ ) entonces el triángulo $ABC$ es un triángulo isósceles. Esto es sólo mi hipótesis, aunque estoy bastante seguro de que es correcta, pero necesito una prueba.

Por supuesto, si $ABC$ es efectivamente isósceles tenemos (por simetría) que $S$ es el punto medio de $a$ y es la intersección de $s$ y $a.$ Estoy interesado en la declaración inversa mencionada anteriormente. Gracias

Olvidé mencionar: el énfasis está en las pruebas de geometría sintética.

Answer 1

Tu conjetura es correcta, y se puede demostrar en coordenadas con bastante facilidad. (Si por "lado a" te refieres al lado opuesto al ángulo $\alpha$ que se encuentra en el punto $A$ entonces deberías tener " $|CS| = |BS|$ ", en lugar de " $|AS| = |BS|$ ", por supuesto. Estoy bastante seguro de que esto es lo que querías decir).

Tenga en cuenta que para que su conjetura sea cierta, necesitamos $\alpha \ne 0$ para que $AC$ y $AS$ son líneas distintas.

Aquí hay una secuencia que constituye una prueba, pero tendrás que hacer tu propio dibujo.

Supongamos que $AC > AB$ (Voy a omitir los símbolos |X| cuando es obvio que estoy hablando de longitudes). Poner un punto $Q$ en $AC$ con $A-Q-C$ y $AQ = AB$ . Si decimos que $x = BS$ entonces $x = QS$ también, reflejando a través de la línea $AS$ . Sea $H$ sea un punto de AS con $A-S-H$ .

Dejar $\beta$ sea el ángulo en $B$ y $p$ sea el ángulo $BSA$ tenemos

1. $p = ASQ$ (Congruencia ASA)

1.5 $\gamma = SQA = \beta$

1.6 $SQC = p$

2. $HSC= p$ (ángulos verticales, defn de $p$ )

3. $QSC = \pi - 2p$

4. $QSC + SCQ + CQS = \pi$

5. $(\pi - 2p) + SCQ + p = \pi$ (utilizando el punto 1)

6. $SCQ - p = 0$ Así que $SCQ = p$ .

7. La línea $AS$ se encuentra con $BC$ con ángulo $p$ en $S$ la línea $AC$ se encuentra con $BC$ con ángulo $p$ y $C$ Así que $AS$ y $AC$ son paralelos.

8. La contradicción, por $AC$ y $AS$ se reúnen en $A$ . (también usando el "necesitamos" que está en negrita arriba, y que muestra que $AC$ y $AS$ no son idénticos)

Answer 2

Bajar las alturas de $S$ a $CA$ y $CB$ para conseguir puntos $A', B'$ .

Entonces, $\triangle CSA'\cong\triangle CSB'$ como triángulos rectos con otro ángulo igual ( $\angle SCA'=\angle SCB'$ ) y un lado común.

Esto implica que $SA'\cong SB'$ .

Ahora mira $\triangle SAA'$ y $\triangle SBB'$ como son triángulos rectos con lados congruentes $SA'\cong SB'$ y $SA\cong SB$ (según la suposición), entonces esos triángulos también son congruentes, lo que nos da $\angle A=\angle B$ .

(Estrictamente hablando, habría dos casos, en los que cualquiera de los dos interiores $\angle A$ es igual al interior $\angle B$ o interior $\angle A$ es igual a exterior $\angle B$ pero la segunda opción es obviamente imposible porque en el segundo caso la suma de todos los ángulos de $\triangle ABC$ sería mayor que $180^\circ$ .)

Esto implica entonces que $\triangle ABC$ es isósceles (dos ángulos iguales).

Answer 3

Supongo que se refiere a $A$ y $B$ son puntos finales del lado $a$ ya que usted dice $S$ es el punto medio de $a$ pero entonces eso se desviaría de la "notación habitual", ya que los puntos finales del lado $a$ debe sea $B$ y $C$ .

Si $a$ es $AB$ puede utilizar el Teorema de la bisectriz del ángulo para demostrar que $AC$ y $BC$ son iguales, y por lo tanto, el triángulo es isósceles:

$$\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|AC|}{|BC|} \quad 1=\frac{|AC|}{|BC|} \quad |AC|=|BC|$$

Sin embargo, si se utiliza la notación habitual y se quiere decir que $S$ es el punto medio de $a$ tal que $|AS|=|BS|$ y $|BS|=|CS|$ entonces la prueba no sólo puede derivarse utilizando el teorema de la bisectriz del ángulo, sino también estableciendo ángulos iguales entre sí:

Que la mitad del ángulo $\alpha$ sea $\theta$ . Desde $\Delta ACS$ y $\Delta ABS$ son ambos isósceles, lo que significa que los ángulos $b=c=\theta \longrightarrow \Delta ABC$ es isósceles.

Answer 4

Por la ley del seno:

$$\frac {\sin \alpha}{AS} = \frac{\sin \angle CAB}{CS}, \ \frac {\sin \alpha}{BS} = \frac{\sin \angle CBA}{CS}$$

Desde $AS = BS$ tenemos $\sin \angle CAB = \sin \angle CBA$ .

Por lo tanto, o bien $\angle CAB = \angle CBA$ o $\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ$ .

Esto último no puede ocurrir ya que implicaría $\alpha = 0^\circ$ .

La primera implica que el triángulo es isósceles.

Sin embargo, creo que debería haber una solución más sencilla sin invocar la trigonometría.