finalización formal

Question

Cuando estudio la terminación formal y los esquemas formales, en la p.194 de "Algebraic Geometry" de Hartshorne, dijo "Uno ve fácilmente que los tallos de la gavilla $\mathcal{O}_{\hat{X}}$ son anillos locales".

Observe que aquí $\mathcal{O}_{\hat{X}}$ no es la gavilla estructural de X, hay un "sombrero" en el símbolo $X$ .

Pero no veo la razón para que los tallos de la gavilla $\mathcal{O}_{\hat{X}}$ son anillos locales.

Podría alguien explicarme esto, gracias.

Answer 1

He aquí una explicación autocontenida (espero que sin ningún error):

A nivel local, $\hat{X}$ es un esquema formal afín, por lo que cada punto tiene una base de vecindad que admite conjuntos abiertos $U$ admitiendo la siguiente descripción: hay un anillo $A$ con el ideal $I$ , tal que el espacio topológico subyacente es $U_0 :=$ Espec $A/I$ y la gavilla estructural es el límite proyectivo de las gavillas $\mathcal O_{U_n},$ donde $U_n :=$ Espec $A/I^{n+1}$ .

(Nótese que el espacio topológico subyacente de todos los $U_n$ coinciden, por lo que como espacios topológicos $$U = U_0 = \cdots = U_n = \cdots .$$ Las gavillas $\mathcal O_{U_n}$ son todas láminas sobre este mismo espacio topológico subyacente, que forman un sistema proyectivo con mapas de transición obvios, correspondientes a las proyecciones de anillos $A/I^{n+1} \to A/I^n.$

Ahora bien, si $x$ es un punto de $\hat{X}$ y si elegimos una vecindad $U$ de $x$ como en el caso anterior, entonces el mapa natural sobre gavillas $\mathcal O_{\hat{X}} \to \mathcal O_{U_0}$ induce un mapa natural en los tallos $\mathcal O_{\hat{X},x} \to \mathcal O_{U_0,x}$ . El objetivo es un anillo local. Sea $\mathfrak m_x$ denotan la preimagen en $\mathcal O_{\hat{X},x}$ del ideal máximo en $\mathcal O_{U_0,x}$ ; afirmo que es el único ideal maximal de $\mathcal O_{\hat{X},x}$ .

Para ver esto, supongamos que $f$ es un elemento de $\mathcal O_{\hat{X},x}$ que no se encuentra en $\mathfrak m_x$ . Entonces por definición del tallo, $f$ se extiende a una sección de $\mathcal O_{\hat{X}}$ sobre alguna vecindad de $x$ que (al reducirse $U$ según sea necesario) también podemos asumir que es nuestra vecindad afín $U$ . Así, podemos pensar en $f$ como una sección del límite proyectivo de $\mathcal O_{U_n}(U)$ , es decir, el límite proyectivo de los anillos $A/I^{n+1}$ .

La suposición de que $f$ no está en $\mathfrak m_x$ dice que su imagen en $\mathcal O_{U_0}(U)$ no está en el ideal máximo en $x$ y por lo tanto, la contracción $U$ más, si es necesario, podemos suponer que $f$ es una unidad en $\mathcal O_{U_0}(U) = A/I$ .

Así, $f$ es un elemento del límite proyectivo de $A/I^{n+1}$ que es una unidad en $A/I$ . Se puede comprobar fácilmente que $f$ es entonces una unidad en cada $A/I^{n+1}$ , y por tanto en el límite proyectivo. Así, $f$ es una unidad en el anillo $\mathcal O_{\hat{X}}(U)$ y así, en particular, en el tallo $\mathcal O_{\hat{X},x}$ .

He demostrado que cada elemento del tallo $\mathcal O_{\hat{X},x}$ no mentir en $\mathfrak m_x$ es una unidad, lo que implica que $\mathcal O_{\hat{X},x}$ es local con ideal máximo $\mathfrak m_x$ .