Estoy tratando de probar lo siguiente:
Dejemos que $A$ y $B$ sean conjuntos dotados de las relaciones de equivalencia $\sim_A$ y $\sim_B$ , respetuosamente. Definir la relación $\sim$ en $A \times B$ al establecer
$$(a_1,b_1) \sim (a_2,b_2) \; \text{if and only if} \; a_1\sim_A a_2 \; \text{and} \; b_1\sim_B b_2.$$
Utiliza la propiedad universal de los cocientes para establecer que hay funciones $(A\times B)/\sim \rightarrow A/\sim_A$ , $(A\times B)/\sim\rightarrow B/\sim_B$ .
Demostrar que $(A\times B)/\sim$ con estas dos funciones satisface la propiedad universal para el producto de $(A/\sim_A)\times (B/\sim_B)$ .
Concluir sin más trabajo que $(A\times B)/\sim \cong (A\sim_A)\times (B/\sim_B)$ .
En primer lugar, siento no poder dibujar los diagramas aquí. Espero que esto no sea demasiado terrible.
He resuelto las dos primeras partes sin mucha dificultad: dejemos $\varphi_A$ y $\varphi_B$ denotan los mapas que envían $(a,b)$ a $[a]_{\sim_A}$ y $(a,b)$ a $[b]_{\sim_B}$ respectivamente. Entonces, por la propiedad universal de los espacios cocientes, existen funciones únicas $\psi_A:(A\times B)/\sim \rightarrow A/\sim_A$ y $\psi_B:(A\times B)/\sim \rightarrow B/\sim_B$ tal que $\varphi_A=\psi_A\circ \pi$ y $\varphi_B=\psi_B\circ \pi$ , donde $\pi:A\times B\rightarrow (A\times B)/\sim$ es el mapa de proyección. Así, por la propiedad universal para $(A/\sim_A)\times (B\sim_B)$ podemos concluir que existe una función única $\Psi:A\times B\sim\rightarrow (A/\sim_A)\times(B/\sim_B)$ tal que $\pi_A\circ \Psi=\psi_A$ y $\pi_B\circ \Psi=\psi_B$ , donde $\pi_i$ representa la proyección sobre el $i$ coordinar. Es decir, obtenemos $\Psi=\psi_A\times\psi_B$ donde la unicidad de $\Psi$ se deduce de la unicidad de $\psi_A$ y $\psi_B$ .
De aquí no veo cómo concluir que se trata de un isomorfismo. ¿Alguna idea? ¿He cometido un error?
