Función/límite superior para $y'(x)=x^3+y^3(x)$

Question

La función es $y'(x)=x^3+y^3(x)$ para $x>0$ y $y(0)=1$

Me pidieron que encontrara una función superior e inferior para que $y_1'(x)<y'(x)<y_2'(x)$

He encontrado un límite inferior para $y'(x)$ al ver que $y_1'(x)=y^3(x)<x^3+y^3(x)=y'(x)$ avec $y_1(0)=1$

Con eso, tengo $y_1(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ como solución y ahora puedo deducir que $0<x<\frac{1}{2}$

Pero no estoy teniendo problemas para construir la función superior para ese problema.

Mi suposición inicial fue $y_2(x)=1+y^3(x)$ pero eso se demostró difícil de resolver. ¿Puede alguien darme una pista para una mejor estimación?

Answer 1

Dejemos que $I = [0, a)$ denotan el intervalo máximo en el que existe una solución del problema de valor inicial.

Ya has demostrado que $a \le 1/2$ . De ello se desprende que $2x < 1 \le y(x)$ para todos $x \in I$ y por lo tanto $$ y'(x) < \left( \frac{y(x)}{2} \right)^3 + y(x)^3 = \frac 98 y(x)^3 \, . $$

Eso lleva a $$ y(x) < y_2(x) = \frac{2}{\sqrt{4-9x}} \, . $$ En particular, $a \ge \frac 4 9 \approx 0.444$ .

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Para una mejor estimación puede utilizar su límite inferior $$ y(x) > \frac{1}{\sqrt{1-2x}} $$ y verificar que $$ \frac{1}{\sqrt{1-2x}} > 5x $$ para $0 \le x <1/2$ . De ello se desprende que $x < \frac 15 y(x)$ y por lo tanto $$ y'(x) < \left( \frac{y(x)}{5} \right)^3 + y(x)^3 = \frac {126}{125} y(x)^3 \, . $$ Esto nos lleva al límite superior $$ y(x) < \frac{{{5}^{3/2}}}{\sqrt{125-252x}} $$ y $a \ge \frac{125}{252} \approx 0.496$ .

Answer 2

Si se añaden más complicaciones a la (primera, para $x<\frac14$ (ahora mejorada) de la respuesta de Martin R, se puede observar que $$ y'(x)\ge x^3+1 \implies y(x)\ge 1+x+\frac{x^4}4\ge 1+x+\frac{x^4}8+\frac{x^4}8 \ge 1+3\sqrt[3]{x·\frac{x^4}8·\frac{x^4}8}\ge\frac34 x^3 $$ (exacto en $x=2$ El factor de seguridad puede mejorarse a un nivel ligeramente superior. $0.8$ ) de modo que se obtiene una cota superior a través de la desigualdad diferencial $$ y'(x)\le \frac43y(x)+y(x)^3. $$ Esto se puede resolver mediante el enfoque de Bernoulli para obtener $$ y(x)^{-2}+\frac34\ge(1+\frac34)e^{-\frac83x} $$ que da una región libre de singularidades para $x<-\frac38\ln\frac37=0.317736697...$

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Reducción de la estimación inicial al intervalo $[0,\frac12]$ uno tiene allí $$ y(x)\ge x^3(x^{-3}+x^{-2}+\tfrac14x)>12x^3. $$ Esto da al límite superior una desigualdad diferencial del tipo Bernoulli $$ y'(x)\le \frac1{12}y(x)+y(x)^3 \implies y(x)^{-2}+12\ge(1+12)\exp(-\tfrac16x). $$ Este límite evita la divergencia al infinito para $x<6\ln(1+\frac1{12})=0.4802562460...$