Pregunta de probabilidad relativa a los eventos secuenciales

Question

Hay 3 jugadores $A, B, C$ y lanzan un dado secuencialmente hasta que alguien gana. $A$ gana si anota cualquiera de los dos $5$ o $6$ . $B$ gana si el dado es un número par y $C$ gana si marca un número impar.

Encuentre la probabilidad de que el jugador $C$ lanza los dados al menos 3 veces.

Solución:

Dejemos que $P_i =$ {Jugador $P$ gana después de lanzar el dado la i-ésima vez}

$D =$ {Jugador $C$ lanza el dado al menos 3 veces}.

$\bar D =$ {Jugador $C$ lanza el dado 2 veces como máximo}.

• $C$ lanza el dado exactamente $0$ veces, que es:

$A_1\cup \bar{A}_1B_1$

• $C$ lanza el dado exactamente $1$ tiempo, lo que significa que El jugador C gana durante la primera ronda o el jugador A o el jugador B ganan la segunda ronda, es decir

$\bar{A}_1 \bar{B}_1 C_1 \cup \bar{A}_1 \bar{B}_1 \bar{C}_1 A_1 \cup\bar{A}_1 \bar{B}_1 \bar{C}_1 \bar{A}_2B_2$

El mismo argumento es para el tercer caso, donde el jugador C lanza el dado exactamente 2 veces.

Sin embargo, la respuesta del libro de texto es que para el evento $\bar{D}$ cuando lo tenemos:

$ \bar{D} = A_1 + \bar{A}_1 B_1 +\bar{A}_1\bar{B}_1C_1 +\bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}C_2 + \bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}\bar{C}_2 A_3 + \bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}\bar{C}_2 \bar{A}_3B_3 $

¿Por qué es así?

Answer 1

Lulu está definitivamente en lo cierto sobre la mejor manera de responder a esto. El método del libro es innecesariamente complicado. Pero examinémoslo de todos modos:

$$\bar{D} = A_1 + \bar{A}_1 B_1 +\bar{A}_1\bar{B}_1C_1 +\bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}C_2 + \bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}\bar{C}_2 A_3 + \bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}\bar{C}_2 \bar{A}_3B_3$$

Estamos calculando todas las formas en que $C$ no lanza $3$ veces - es decir, todas las formas en que el juego puede terminar antes de su tercer lanzamiento.

• $A_1 = A$ gana en el primer lanzamiento.
• $\bar A_1B_1 = B$ gana su primer lanzamiento (después de $A$ pierde el suyo)
• $\bar{A}_1\bar{B}_1C_1 = C$ gana su primer lanzamiento (después de $A, B$ ambos pierden).
• $\bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}C_2 = C$ gana su segundo lanzamiento.
• $\bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}\bar{C}_2 A_3 = A$ gana en su tercer lanzamiento.
• $\bar{A}_1 \bar{B_1}\bar{C}_1\bar{A}_2 \bar{B_2}\bar{C}_2 \bar{A}_3B_3 = B$ gana en su tercer lanzamiento.

Obsérvese que hay un salto evidente en la progresión: las contribuciones de $A$ o $B$ ganando en su segunda tirada están perdidos.

Así que la respuesta a tu pregunta "¿por qué es así?" es: Porque tu libro está equivocado.

Probablemente alguien se saltó un par de términos accidentalmente al formatear esta horrenda ecuación.