Dejemos que $K$ sea un campo y $A=K(\alpha), B=K\alpha$ con $[A:K]=a, [B:K]=b$ . ¿Podemos poner límites superiores e inferiores al grado de las extensiones de campo $K(\alpha,\beta)/K, K(\alpha,\beta)/K(\alpha \beta), K(\alpha \beta)/K$ ?
Respuesta
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Bien, podemos poner un límite superior a $K(\alpha,\beta)/K$ ciertamente, ya que $[K(\alpha,\beta):K(\alpha)]\le [K(\beta):K]=b$ Así que $$[K(\alpha,\beta):K]=[K(\alpha,\beta):K(\alpha)][K(\alpha):K]\le ab.$$ Del mismo modo, un límite inferior es $a$ ya que $[K(\alpha,\beta):K(\alpha)]\ge 1$ . $b$ es, por supuesto, también un límite inferior, por lo que obtenemos un límite inferior de $\max\{a,b\}$ . Tenga en cuenta que estos son agudos. Para el límite superior, tomemos $K=\newcommand{\QQ}{\Bbb{Q}}\QQ$ , $\alpha=\sqrt{2}$ , $\beta=\sqrt{3}$ y para el límite inferior toma $K=\QQ$ , $\alpha=\beta=\sqrt{2}$ . Por lo tanto, tenemos $$\max\{a,b\} \le [K(\alpha,\beta):K]\le ab.$$
Ahora es básicamente la misma idea para $K(\alpha\beta)$ . Observe que $K(\alpha\beta,\alpha)=K(\alpha,\beta)$ Así que $[K(\alpha,\beta):K(\alpha\beta)]\le a$ , y de forma similar $[K(\alpha,\beta):K(\alpha\beta)]\le b$ Así que $$1\le [K(\alpha,\beta):K(\alpha\beta)]\le \min \{a,b\}.$$ Obsérvese que podemos alcanzar el límite inferior de 1, por ejemplo con $\QQ$ , $\alpha=\sqrt{2}$ y $\beta=\zeta_3$ . Desde $(\alpha\beta)^2=2\zeta_3^2$ y $(\alpha\beta)^3=2\sqrt{2}$ Así que $\QQ(\alpha\beta)=\QQ(\alpha,\beta)$ ya en este caso.
Entonces observamos que así tenemos $1\le [K(\alpha\beta):K] \le ab$ , ya hemos visto que podríamos tener $K(\alpha\beta)=K(\alpha,\beta)$ , y en ese ejemplo, teníamos $\QQ(\sqrt{2}\zeta_3)=\QQ(\sqrt{2},\zeta_3)=\QQ(\sqrt{2},\sqrt{-3})$ que es un grado $4=ab$ extensión. Por lo tanto, el límite superior es agudo. Es trivial producir un ejemplo donde el límite inferior es agudo, es decir, tomar $\beta=1/\alpha$ . Así, tenemos los límites (bastante débiles) $$1\le [K(\alpha\beta):K] \le ab.$$
Hay que admitir que fui por los límites obvios que implican $a$ y $b$ . Si te permites otros grados, podrías obtener mejores resultados.
