La motivación del producto en cuña

Question

Para $v_1=ae_1+be_2$ y $v_2=ce_1+de_2$ .entonces en forma de producto de cuña

$$v_1\wedge v_2=(ad-bc)e_1\wedge e_2$$

Pero también tenemos su fórmula en la forma dual.Si ponemos $f\in A_k (V)$ y $g\in A_l (V)$ Entonces tenemos la fórmula: $$f\wedge g(v_1,v_2,...,v_{k+l})=\sum_{\sigma\in(k,l)-shuffles}(sgn\sigma)f(v_{\sigma (1)},...,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k)},...,v_{\sigma (k+l)}) \tag1$$

Más especialmente para dos covachas: $$f\wedge g(v_1,v_2)=f(v_1)g(v_2)-f(v_2)g(v_1)$$

A continuación, establecemos $f(v_1)=a,f(v_2)=c,g(v_1)=b,g(v_2)=d$ entonces el resultado es $ad-bc$ que se corresponde con los coeficientes del producto cuña para los vectores.

Esta es mi confusión:

$(Q_1)$ . ¿Es sólo una coincidencia? ¿O podemos decir que la coincidencia nos motiva a definir una fórmula como $(1)$ en la forma dual?

$(Q_2)$ . ¿Sucede en un espacio vectorial de mayor dimensión con más vectores? Es decir, ¿podemos utilizar la fórmula $(1)$ para calcular los coeficientes con más vectores en un espacio vectorial de mayor dimensión Véase la página de la wiki (Contenido 1.2): https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra

$(Q_3)$ . ¿Podemos generalizar $(1)$ en forma de tensor fijo?

Para $(Q_3)$ ,supongo que no es porque no podamos tener una permutación o barajar de forma fija.

Espero haber dejado clara mi exposición. Agradezco su respuesta, gracias.

Answer 1

Parece que lo que te falta es el hecho de que (para espacios de dimensión finita) hay un isomorfismo natural $$\Lambda^k(V^*)\simeq \left( \Lambda^k V\right)^*$$ donde su $A_k(V)$ se identifica naturalmente con $\left( \Lambda^k V\right)^*$ .

Este isomorfismo viene dado por: $$\phi_1\wedge \dots\wedge \phi_k\mapsto \left(v_1\wedge\dots\wedge v_k\mapsto \det(\phi_i(v_j))\right).$$

Así que el producto cuña para la forma alterna es en realidad un producto cuña de vectores, pero en el espacio dual, y la "coincidencia" no es en realidad una coincidencia.

En concreto, teniendo en cuenta su $f,g\in V^*$ tenemos el producto cuña habitual en el álgebra exterior $f\wedge g\in \Lambda^2(V^*)$ y utilizando el isomorfismo anterior podemos verlo como un elemento de $A_2(V)$ enviando $(v_1,v_2)$ à $$ \begin{vmatrix} f(v_1) & f(v_2) \\ g(v_1) & g(v_2) \end{vmatrix} = ad-bc.$$