Pregunta sobre el número complejo conjugado

Question

¿Puede alguien ayudarme, por favor? Tengo resuelta la primera parte.

1) Resuelve la ecuación: $z^3=i$

Puedo hacer esta parte: $$z = \exp \left( \frac{i\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \right)$$ así que $$z = \exp \left( \frac{i\pi}{6} \right) \qquad \text{or} \qquad z = \exp \left( \frac{5i\pi}{6} \right) \qquad \text{or} \qquad z = \exp \left( -\frac{i\pi}{2} \right)$$

2) Por lo tanto, encontrar los valores para el argumento de un número complejo $w$ que es tal que $$w^3 = i \cdot \overline{w}^3,$$ donde $\overline{w}$ es el complejo conjugado.

Gracias.

Answer 1

Pista sobre 1):

Desde $z^3=i$ se deduce que $|z|^3=|i|=1$ por lo que $|z|=1$ . Si $z=e^{i\phi}$ puis $z^3=i$ equivale a $e^{i3\phi}=e^{i\frac{1}{2}\pi}$ .

Así que a resolver es: $3\phi=\frac{1}{2}\pi+2k\pi$ .

Pista sobre la 2):

Si $w=re^{i\phi}$ puis $w^3=r^3e^{i3\phi}$ su conjugado complejo es $re^{-i\phi}$ y $i(re^{-i\phi})^3=e^{\frac{1}{2}\pi i}r^3e^{-3i\phi}=r^3e^{i(\frac{1}{2}\pi-3\phi)}$ .

Así que a resolver es: $3\phi=\frac{1}{2}\pi-3\phi+2k\pi$ .

Aquí $k\in\mathbb Z$ y en ambos casos se puede restringir a soluciones en $[0,2\pi)$ .