Niveles de Landau en galga simétrica

Question

En la página 394 de Quantum Many body de Shankar dice para un electrón en un campo magnético, ignorando el espín,

$$H_0=\frac{(\bf{p}+e\mathbf{A})^2}{2m}$$

$$e\mathbf{A}=-\frac{\hbar}{2l^2}\hat{z}\times \mathbf{r}$$ donde $l=\sqrt{\hbar/eB}$ es la longitud magnética.

Luego dice que

$$H_0=\frac{\hbar^2 \mathbf{\eta}^2}{2ml^4}$$ donde $\mathbf{\eta}=\frac{1}{2}\mathbf{r}+\frac{l^2}{\hbar}\hat{z}\times \mathbf{p}$ donde $\eta$ es la coordenada del ciclotrón.

Parece que algo se dejó de lado aquí. No veo cómo cuadrar esto $\eta$ me devolvería el hamiltoniano original. ¿Me estoy perdiendo algo?

Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

El problema es bidimensional. Por lo tanto, no tiene una dinámica $z$ y $p_{z}$ componentes. Por lo tanto, el cálculo directo demuestra

$$\left(\boldsymbol{p}-\dfrac{\hbar}{2l^{2}}\hat{z}\times\boldsymbol{r}\right)^{2}=\left(p_{x}+\dfrac{\hbar}{2l^{2}}y\right)^{2}+\left(p_{y}-\dfrac{\hbar}{2l^{2}}x\right)^{2}=$$

$$=\dfrac{\hbar^{2}}{l^{4}}\left[\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{l^{2}}{\hbar}p_{y}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{2}y+\dfrac{l^{2}}{\hbar}p_{x}\right)^{2}\right]=\dfrac{\hbar^{2}}{l^{4}}\left(\dfrac{1}{2}\boldsymbol{r}+\dfrac{l^{2}}{\hbar}\hat{z}\times\boldsymbol{p}\right)^{2}=\dfrac{\hbar^{2}\eta^{2}}{l^{4}}$$