pregunta sobre la probabilidad de ganar una partida de dados

Question

PREGUNTA:

A y B juegan una partida lanzando alternativamente un dado, comenzando A primero. La puntuación de cada jugador es el número obtenido en su última tirada. La partida termina cuando la suma de las puntuaciones de los dos jugadores es 7, y gana el último jugador en lanzar el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que A gane la partida?

MI INTENTO:

En la primera tirada es imposible que A gane. En cambio, B puede ganar siempre que el número del dado de A y el del dado de B sumen siete. Las combinaciones que permiten a B ganar son: $$ S=\{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\} $$ que son 6 de un total de 36 combinaciones, por lo que la probabilidad de que B gane en la primera ronda es $ \frac{1}{6} $ y la probabilidad de que A gane es 0.

En la segunda tirada de A a tiene una probabilidad de ganar de $ \frac{1}{6} $ utilizando la misma lógica que para B en la tirada1 y en la siguiente tirada de B de nuevo B tiene una probabilidad de ganar de $ \frac{1}{6} $ . Puedo seguir haciendo lo anterior una y otra vez, pero sólo volverá al primer escenario, así que me detengo aquí.

Ahora bien, si B gana en la primera ronda, A pierde y no puede pasar a la segunda tirada. Por lo tanto, la probabilidad de que A gane es la probabilidad de que B no gane en la primera ronda entre la probabilidad de que A gane en la siguiente, que es $$ (1- \frac{1}{6}) (\frac{1}{6}) $$ que es $\frac{5}{36}$

Lamentablemente, esta no es la respuesta correcta según la clave de respuestas. Por favor, que alguien me indique en qué me he equivocado. Gracias :)

EDITAR: $$ $$ en cualquier intento siguiente la probabilidad de que A gane puede escribirse como $(\frac{5}{6})^2$ de la anterior ya que hay una $(\frac{5}{6})$ probabilidad de que A no gane y a $(\frac{5}{6})$ posibilidad de que B no gane, lo que lleva al siguiente intento.

por lo que la respuesta es $(\frac{1}{6}) ((\frac{5}{6})^2+(\frac{5}{6})^4+...)$ que es igual a $\frac{1}{6} (\frac{1}{1-(\frac{5}{6})^2)})$ que es 6/11 y la respuesta correcta. EDITAR $$ $$ por lo que la respuesta es $(\frac{5}{36}) ((\frac{5}{6})^2+(\frac{5}{6})^4+...)$ que es igual a $\frac{1}{6} (\frac{1}{1-(\frac{5}{6})^2)})$ que es el 5/11

Answer 1

En su última ecuación, el factor $1/6$ debe ser el $5/36$ que encontró arriba. Esto da $5/11$ pas $6/11$ . Se puede obtener la respuesta sin utilizar series infinitas, de la siguiente manera: Sea $p$ sea la probabilidad de que A gane. Consideremos la situación después de la primera tirada de B. B gana $1/6$ del tiempo. Si esto no ocurre, B se encuentra en la situación en la que estaba A al principio. Así que B gana el juego con la probabilidad $1/6 + (5/6)p$ . Pero la probabilidad de B también es $1-p$ . Esto da $p = 5/11$ .

Answer 2

Su valor de $\frac{5}{36}$ da la probabilidad de que A gane en la segunda tirada de A. Pero, por supuesto, puede haber oportunidades posteriores para que A gane.