Grupos de homotopía de 3 esferas de homología entera

Question

Dejemos que $Y^3$ sea una 3-esfera de homología entera, es decir $H_k(Y;\mathbb{Z}) = H_k(S^3;\mathbb{Z}), \forall k$ es decir $$ H_0(Y;\mathbb{Z}) = H_3(Y;\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} \quad \text{and} \quad H_1(Y;\mathbb{Z}) = H_2(Y;\mathbb{Z}) = 0 $$ Hay resultados sobre $\pi_1(Y)$ (por ejemplo, la obra de M. A. Kervaire de 1969 papel ).

Pregunta : qué sabemos sobre $\pi_2(Y)$ y $\pi_3(Y)$ ?

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Según las ediciones de abajo (resolviendo algunos casos), aquí supongo :

• $card(\pi_1(Y))=\infty$ (así que excluye $S^3$ y la homología de Poincaré 3-esfera),
• $Y$ es no una 3-esfera de Brieskorn $M(p,q,r)$ .
• $Y$ es reducible.

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Editar 1 : Si $\pi_1(Y)=0$ entonces $\pi_2(Y)=0$ y $\pi_3(Y)=\mathbb Z$ . Se puede calcular utilizando Hurewicz o considerando el teorema de Poincaré-Perelman ( $\pi_1(Y)=0$ implica $Y=S^3$ ). Así que supongamos $\pi_1(Y)\ne 0$ . Un primer ejemplo explícito de este tipo de 3 esferas homológicas no triviales es la 3 esfera homológica de Poincaré. Utilizando la larga secuencia exacta de homotopía de la fibración $A_5\rightarrow SO(3) \rightarrow Y$ se demuestra fácilmente que los grupos de homotopía superiores de la esfera de homología de Poincaré están dados por $\pi_k(Y)=\pi_k(S^3), \forall k>1$ Por lo tanto $\pi_2(Y)=0$ y $\pi_3(Y)=\mathbb{Z}$ . Ahora sabemos $\pi_2$ y $\pi_3$ de dos esferas de homología 3 (estándar $S^3$ y la de Poincaré $\mathbb{Z}HS^3$ ). A partir del teorema de Kervaire, esos dos casos son los únicos $\mathbb{Z}HS^3$ con grupo fundamental finito. Supongamos ahora que $card(\pi_1(Y))=\infty$ .

Editar 2 : Además, para $p,q,r\in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ coprima por pares, la esfera de Brieskorn $M(p,q,r)$ es un $\mathbb{Z} HS^3$ . El caso $M(2,3,5)$ es la de Poincaré $\mathbb{Z} HS^3$ y fue discutido en "Edición 1" . Los otros casos tienen todos infinitos $\pi_1$ y por el teorema de Brieskorn son espacios de Eilenberg-Maclane $K(\pi_1,1)$ (es decir, asférico), por lo que tienen $\pi_2 = 0$ , $\pi_3 = 0$ .

Editar 3 : (Aquí sigo la idea de Thomas, véase la respuesta más abajo). Dejemos que $Y$ ser un $\mathbb Z HS^3$ con infinidad de $\pi_1$ . Entonces, como $Y$ es orientable, tenemos " $Y$ irreducible implica $Y$ es $K(\pi_1(Y),1)$ " . Así que el caso en el que $Y$ es irreducible, y tiene infinito $\pi_1$ se resuelve ( $\pi_2 = 0$ y $\pi_3 = 0$ ). Obsérvese que las nociones de irreducible y prime concordancia en el caso de $\mathbb Z HS^3$ .

Answer 1

Todo 3manifold compacto irreducible (reducible significa que el manifold es una suma conectada) tiene trivial $\pi _2$ (el teorema de la esfera). Y todo 3-manifold se divide (únicamente) como una suma conectada de 3-manifolds irreducibles Milnor-Kneser. Así que se pueden estudiar los 3-manifoldes irreducibles. O bien tienen grupo fundamental infinito y tienen trivial $\pi _3$ (De hecho, estos colectores son $K(\pi , 1)$ y allí la cobertura universal es $\bf R^3$ ) o su grupo fundamental es finito. Véase el libro de Hempel o el de Jaco, por ejemplo.