Encontrar la continuidad, la diferenciabilidad y la diferenciabilidad continua de una función con variables $f(x)=x^\beta\sin(\frac{1}{x^{\alpha}}) $

Question

$$f(x)=\begin{cases}\begin{align}&x^\beta\sin(\frac{1}{x^{\alpha}}) & ,x\neq0 \\ &0 & ,x=0\end{align}\end{cases} \\ (\alpha,\beta\in\mathbb N)$$

Encuentre para qué $\alpha,\beta$ la función es 1.continua 2.diferenciable 3.continuamente diferenciable 4.diferenciable dos veces en 0.

Una función $f$ se dice que es continuamente diferenciable si la derivada $f'(x)$ existe, y es a su vez una función continua.

Bueno, sé que $x^\beta$ responde a todo lo anterior para todos $\beta$ como es una función elemetaria es siempre continua y siempre diferenciable, pero sé que $\sin(\frac{1}{x^{\alpha}})$ aunque siempre discutible, nunca será diferenciable cuando x vaya a 0 para $\alpha\ge1$ . (Supongo que no puedo elegir $-(\alpha\in\mathbb N)$ para hacer $\sin x^\alpha$ ?)

Así que la única manera de hacerlo diferenciable es elegir $\alpha=0, \forall\beta$ para esos dos también será continuamente diferenciable y diferenciable dos veces en 0.

Supongo que no debo adivinar el alfa y el beta, sino encontrarlos rigurosamente con las definiciones...

Answer 1

Para la definición de continuidad, debe tener lo siguiente: $$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$$

es decir, $$lim_{x \rightarrow 0} x^\beta \cdot \sin{\frac{1}{x^\alpha}} = 0$$ Pero eso siempre producirá $0$ , si $\beta > 0$ Desde que el $x^\beta$ parte va a $0$ y $-1 \leq sin{\frac{1}{x^\alpha}} \leq 1$ . (¡teorema del apretón!) Si $\beta \leq 0$ el límite no existirá, porque el $x^\beta$ parte irá al infinito y la $\sin$ parte alterna signo. Ahora, a la diferenciabilidad. Decimos $f$ es diferenciable en $x = 0$ si existe lo siguiente: $$lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}\\ lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^\beta \cdot \sin{\frac{1}{h^\alpha}}}{h} \\ \lim_{h \rightarrow 0} h^{\beta - 1} \cdot \sin{\frac{1}{h^\alpha}}$$

que sólo existe si $\beta - 1 > 0$ es decir $\beta > 1$ por el mismo argumento anterior. No hay ninguna restricción en $\alpha$ .