Si f es diferenciable en una región $G$ entonces f es infinitamente diferenciable en G, y todos los parciales de $f$ son continuos

Question

Un primer curso de análisis complejo por Matthias Beck, Gerald Marchesi, Dennis Pixton y Lucas Sabalka Capítulo 5.1

Preguntas sobre este corolario

( Cor 5.5 ) Si f es diferenciable en una región $G$ entonces f es infinitamente diferenciable en G, y todos los parciales de $f$ con respecto a $x$ y $y$ existen y son continuas.

1. ' $\color{blue}{\text{f is differentiable in a region $ G $}}$ '

¿Es esto lo mismo que ' $f$ es holomorfa en una región $G$ pero en su lugar se utiliza "diferenciable" para enfatizar

2. ' $\color{green}{\text{all partials of $ f $ with respect to $ x $ and $ y $ exist and are continuous}}$ '

¿Por qué son continuas?

Esto es lo que he probado. Pf: En primer lugar, $f_x=f'$ por Cauchy-Riemann, es continua porque $f'$ es diferenciable porque $f$ es infinitamente diferenciable. Entonces se extiende por inducción que (de aquí) $$f_{x^{(k)}y^{(n-k)}} = \frac{1}{(-i)^{n-k}1^k}f^{(n)}$$ es continua porque $f^{(n)}$ es continua porque $f^{(n)}$ es diferenciable. QED

3. ¿La holomorficidad de $f$ implican la continuidad de $f'$ por Cor 5.5?

• El contexto son 2 ejercicios ( Ejercicio 4.25: Demuestre el Cor 4.20 al Thm de Cauchy utilizando el Thm de Green suponiendo $f'$ es continua. ) y ( Ejercicio 4.38 ), un ejercicio sobre la demostración de la fórmula integral de Cauchy en una región convexa.

• Parece como si ' $f'$ es continua" una nueva suposición, pero con la maquinaria de Ch5, ahora podemos demostrar que podemos deducir que $f'$ es continua a partir de la holomorficidad de $f$ .

• Creo que la respuesta es sí si mi entendimiento para 1 y 2 es correcto.

Answer 1

1. Sí, véase la definición de holomorficidad y regiones. Esto es incluso cierto para "un subconjunto abierto" en lugar de "una región". De hecho, es probable que se utilice para enfatizar porque una parte del consecuente es la diferenciabilidad infinita y la otra parte se refiere a la continuidad de las derivadas parciales (en lugar de la holomorfía parcial, si es que existe tal cosa).

2. Sí, suponiendo que la fórmula sea correcta, pero incluso sin la fórmula, sólo hay que remitirse al texto en recuadro rojo en el párrafo anterior a Cor 5.5 : cualquier secuencia de derivadas parciales es una constante por algo diferenciable, y por tanto una constante por algo continuo.

3. Sí. Hablando de nuevos supuestos, parece que el ejercicio 4.25 no está orientado positivamente, lo que requiere el Thm de Green pero que el Cor 4.20 al Thm de Cauchy no asume o no .

Pf: Diferenciable en la región si es holomorfa en la región (De nuevo, "región" puede sustituirse por "subconjunto abierto". Véase (1)). Entonces $f'$ es diferenciable y, por tanto, continua. QED