¿Puede aplicarse el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno a un nuevo centro de masa?

Question

Consideremos una partícula de masa m que choca y se pega a una varilla de masa M que cuelga de un pivote a cierta distancia d del centro de masa de la varilla. El resultado de dicha colisión alteraría el centro de masa de la varilla, junto con el momento de inercia.

Entiendo que el caso trivial del teorema del eje paralelo es derivar el momento de inercia sobre el extremo de una varilla utilizando su momento de inercia para el centro de masa, y el teorema sólo funciona cuando se parte del momento de inercia sobre el centro de masa.

Tengo la siguiente consulta:

Dado el nuevo centro de masa, llamémosle CM', y como resultado la distancia entre el antiguo y el nuevo centro de masa, ¿se puede recuperar el momento de inercia alrededor del nuevo centro de masa mediante la siguiente fórmula?

Si es así, ¿se puede aplicar la siguiente fórmula para hallar el momento de inercia en torno al punto de giro de la varilla?

Mi sospecha es que, mientras la primera ecuación sea válida, la segunda también lo es.

Answer 1

A tu primera ecuación le falta un término. Estás sumando el MMOI sobre la COM combinada por lo que necesitas el teorema del eje paralelo tanto para la varilla como para la partícula

$$ \begin{aligned} I_c' & = I_c^{\rm rod} + M (\tfrac{L}{2} - c')^2 + m ( d - c')^2 \\ \end{aligned} \tag{1}$$

donde $I_c^{\rm rod} = \tfrac{M}{12} L^2$ , $d$ es la distancia de la partícula al pivote, y $c'$ es la distancia combinada del centro de masa al pivote. Por supuesto, los dos están relacionados, ya que $c' (M+m) = M \tfrac{L}{2} + m d$ .

Así que si eliminamos $d$ de (1) y expresarlo en términos de la nueva COM es

$$ \begin{aligned} I_c' & = I_c^{\rm rod} + (M+m) \tfrac{M}{m} \left( \tfrac{L}{2} - c' \right)^2 \\ \end{aligned} \tag{2}$$

Si vas por el otro lado y eliminas $c'$ de (1) entonces se tiene

$$ \begin{aligned} I_c' & = I_c^{\rm rod} + \tfrac{M m}{M+m} \left( \tfrac{L}{2} - d \right)^2 \\ \end{aligned} \tag{3}$$

De cualquier manera, una vez que $I_c'$ se evalúa, entonces el teorema del eje paralelo se utiliza efectivamente para transferir al pivote

$$ \begin{aligned} I_R' & = I_c' + (M+m) \left( c' \right)^2 \\ & = I_c' + (M+m) \left( \tfrac{M \tfrac{L}{2} + m d}{M + m} \right)^2 \\ & = I_c' + \tfrac{1}{M+m} \left( M \tfrac{L}{2} + m d \right)^2 \end{aligned} \tag{4}$$

Aquí $I_R'$ es el MMOI del sistema combinado (y por tanto el ') en el pivote.

Answer 2

Si el CM original está a una distancia (d) del pivote, entonces el (I) original es (1/12)M $L^2$ + M $d^2$ . Si (m) golpea la varilla a una distancia (x) del pivote, entonces la nueva (I) es (1/12)M $L^2$ + M $d^2$ + m $x^2$ . Sé que esto no responde a tu pregunta, pero ¿por qué complicar el problema?