Probabilidad de acierto cero para conjuntos de medidas positivas en $\mathbb{R}^{d}$

Question

En $d\geq 3$ tenemos que BM es transitoria a.s. es decir $lim_{t\to \infty}|B_{t}|=\infty$ .

Pero, ¿implica esto que $P_{x}(T_{A}<\infty)=0$ para algún tipo de conjunto de Borel $A\subset \mathbb{R}^{d}$ con $vol_{d}(A)>0$ .

Por ejemplo, si $B_{t}$ comienza en el origen, golpeará proyectiles centrados en el origen a.s. Además, para las bolas centradas en el origen $P_{x}(T_{B_{r}(0)}<\infty)=\frac{r^{d}}{|x|^{d}}>0$ donde $|x|>r$ .

Pregunta: Entonces, si es positivo para el origen centrado en las bolas, ¿no debería $P_{x}(T_{A}<\infty)$ ser positivo para otros tipos de conjuntos con volumen positivo que contengan el origen porque puedo meter una bola dentro de ellos. Y como el origen no tiene nada de especial, podemos desplazar el conjunto.

Gracias

Answer 1

Para cualquier $A$ de medida positiva, y cualquier $\epsilon > 0$ tenemos $P(T_A \leq \epsilon)>0$

Porque $P(T_A \leq \epsilon) \geq P(B_{\epsilon} \in A) >0$ desde $B_\epsilon$ tiene una densidad estrictamente positiva en $R^d$ .

De hecho $\lim_{t\to \infty}|B_t| =\infty$ a.s. no implica $P(T_A < +\infty) = 0$ para algunos $A$ de medida positiva. Sólo se puede decir que casi seguramente podemos encontrar alguna $A(\omega)$ de medida positiva tal que el movimiento browniano no pase por $A(\omega)$ pero $A$ depende de $\omega$