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Cuál debe ser el número de homomorfismo de grupo de Z2×Z2 a S8 ?

Quiero encontrar el número total de homomorfismos de grupo de U(8):={1r8:(r,8)=1} a S8 . Ahora sabemos que U(8)Z2×Z2 . Por lo tanto, el número es el mismo que #Hom(Z2×Z2,S8) .

Aquí Z2×Z2=(1,0),(0,1):(1,0)2=(0,1)2=(1,1)2=(0,0) . Así que creo que lo único que necesitamos para molestar a las posibilidades de f(1,0),f(0,1) tal que el orden de f(1,0)f(0,1) sea 2 sólo cuando fHom(Z2×Z2,S8) .

Aquí |f(1,0)|,|f(0,1)| tienen posibilidades 1, 2.

Si |f(1,0)|=1 entonces para f(0,1) obtenemos el total de posibilidades \{1+\binom{8}{2}+\frac{1}{2!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}+\frac{1}{3!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}+\frac{1}{4!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2} \}=764 .

Pero si f(1,0) ¿tiene orden 2 entonces?

Se atascó y se confundió. ¿Puede alguien iluminarme, por favor?

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Philip Fourie Puntos 12889

Gracias a @MiloBrandt por señalar un gran fallo en la primera versión de esto.

Cuántos elementos de orden \leq2 están ahí en S_8 para enviar (1,0) a? Para cada uno, ¿cuántos elementos de orden \leq2 que se desplazan con la imagen de (1,0) para enviar (0,1) ¿a?

  • \binom{8}{0} identidad a enviar (1,0) a, con \binom{0}{0}\left(\binom{8}{0}+\binom{8}{2}+\frac{1}{2!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}+\frac{1}{3!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}+\frac{1}{4!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}\right) opciones para (0,1)
  • \binom{8}{2} 2 ciclos para enviar (1,0) a, con \left(\binom{1}{0}+\binom{1}{1}\right)\left(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\frac{1}{2!}\binom{6}{2}\binom{4}{2}+\frac{1}{3!}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}\right) opciones para (0,1)
  • \frac{1}{2!}\binom{8}{2}\binom{6}{2} productos de dos ciclos disjuntos de 2 para enviar (1,0) a, con \left(\binom{2}{0}+\binom{2}{1}+\binom{2}{2}\right)\left(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\frac{1}{2!}\binom{4}{2}\binom{2}{2}\right) opciones para (0,1)
  • \frac{1}{3!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2} productos de tres 2 ciclos disjuntos para enviar (1,0) a, con \left(\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}\right)\left(\binom{2}{0}+\binom{2}{2}\right) opciones para (0,1)
  • \frac{1}{4!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2} productos de cuatro ciclos de 2 disjuntos para enviar (1,0) a, con \left(\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\right)\binom{0}{0} opciones para (0,1)

En el recuento anterior, dejo que el lector entienda el recuento de opciones para enviar (1,0) a. Al contar dónde enviar (0,1) a, primero contamos cuántos de los 2 ciclos en la imagen de (1,0) que será a imagen y semejanza de (0,1) y luego contar cuántos elementos de orden \leq2 hay que son disjuntos de la imagen de (1,0) . Multiplicar y sumar.


Esto todavía no es suficiente. Ha dejado fuera el envío de los dos generadores a las combinaciones de ciclos que se solapan sin dejar de viajar. Por ejemplo, (12)(34) se desplaza con (13)(24) . Quizás no haya mucho más que contar y añadir, pero lo voy a dejar por ahora.


Esta contabilidad de subgrupos de S_8 nos dice que la respuesta definitiva a su pregunta es (contando desde la parte inferior de la tabla) \begin{align}&1+(105+28+210+420)\cdot3\\&\phantom{1}+(315+630+210+420+70+1260+210+630+420+1260+1260)\cdot\binom{3}{2}\cdot2!\end{align} que es 42400 . Mi contabilidad anterior sólo llega hasta 21820 .

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