Quiero encontrar el número total de homomorfismos de grupo de U(8):={1≤r≤8:(r,8)=1} a S8 . Ahora sabemos que U(8)≅Z2×Z2 . Por lo tanto, el número es el mismo que #Hom(Z2×Z2,S8) .
Aquí Z2×Z2=⟨(1,0),(0,1):(1,0)2=(0,1)2=(1,1)2=(0,0)⟩ . Así que creo que lo único que necesitamos para molestar a las posibilidades de f(1,0),f(0,1) tal que el orden de f(1,0)f(0,1) sea 2 sólo cuando f∈Hom(Z2×Z2,S8) .
Aquí |f(1,0)|,|f(0,1)| tienen posibilidades 1, 2.
Si |f(1,0)|=1 entonces para f(0,1) obtenemos el total de posibilidades \{1+\binom{8}{2}+\frac{1}{2!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}+\frac{1}{3!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}+\frac{1}{4!}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2} \}=764 .
Pero si f(1,0) ¿tiene orden 2 entonces?
Se atascó y se confundió. ¿Puede alguien iluminarme, por favor?